专题：计算题；空间向量及应用． 分析：
由
和cos＜
＞，由
，利用空间向量的数量积公式能求出
=（3λ+2μ，5λ+μ，﹣4λ+8μ），能得到
与z
轴垂直时，λ和μ的关系．
解答：
解：∵
∴
=3×2+5×1+（﹣4）×8=﹣21．
＞=
=
，
∴cos＜=﹣．
∵∴
=（3λ+2μ，5λ+μ，﹣4λ+8μ），
与z轴垂直时，﹣4λ+8μ=0，解得λ=2μ．
点评：本题考查空间向量的距离公式和夹角公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔
细解答． 19．（12分）已知一个圆的圆心为坐标原点O，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线PP′，P′为垂足．
（Ⅰ）求线段PP′中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）已知直线x﹣y﹣2=0与M的轨迹相交于A、B两点，求△OAB的面积． 考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： Ⅰ）圆心为坐标原点O，半径为2的圆的方程为x2+y2=4，确定M，P之间的关系，（
利用代入法，即可求得线段PP′中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）直线x﹣y﹣2=0与椭圆方程联立，消去y，求出A，B的坐标，即可求△OAB的面积． 解答：解： （Ⅰ）设M（x，y），则P（x，2y）
∵圆心为坐标原点O，半径为2的圆的方程为x2+y2=4，P在圆上
∴x2+4y2=4
∴线段PP′中点M的轨迹方程为
；
（Ⅱ）直线x﹣y﹣2=0与椭圆方程联立，消去y可得5x2﹣16x+12=0，∴x=或x=2 ∴A（∴
），B（2，0）
=．
点评：本题考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属
于中档题． 20．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点
．
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（1）求双曲线方程；
（2）设A点坐标为（0，2），求双曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|． 考双曲线的标准方程． 点：
专综合题． 题：
分（1）根据双曲线的渐近线方程，假设双曲线方程，代入点的坐标，即可得到双曲线方析：程；
（2）表示出|PA|，利用二次函数的配方法，即可求得结论． 解解：（1）由题意，设双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣答：﹣﹣﹣（ 2分）
将点代入双曲线方程，得，即λ=6﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
所以，所求的双曲线方程为x2﹣y2=6﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
（2）设双曲线上任意一点P（x1，y1），则从而
=
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
当y1=1时，|PA|有最小值
所以当P的坐标为时，|PA|有最小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
点本题考查双曲线的标准方程，考查两点间的距离公式，解题的关键是待定系数法，属于评：中档题． 21．（12分）已知抛物线y2=4x，过点（0，﹣2）的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点． （1）若
?
=4，求直线AB的方程．
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点（n，0），求n的取值范围． 考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算． 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 1）设直线AB的方程为y=kx﹣2，k≠0，代入y2=4x中得k2x2﹣（4k+4）x+4=0，（
由?=4，能求出直线AB的方程．
=
，
，
（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），由（1）知所以线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=﹣（x﹣围．
）．由此能求出n的取值范
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解答：解： （1）设直线AB的方程为y=kx﹣2，k≠0，
代入y2=4x中得k2x2﹣（4k+4）x+4=0，① 设Ax1，y1），B（x2，y2），B（x2，y2），则∴y1y2=（kx1﹣2）（kx2﹣2）
=k2x1x2﹣2k（x1+x2）+4 =﹣． ∵=
=（，
，y1）?（x2，y2）=x1x2+y1y2
，
，
∴k2+2k﹣1=0， 解得k=﹣1+．
又由方程①的判别式△=（4k+4）2﹣16k2=32k+16＞0， 得k＞﹣． ∴k=﹣1+
，
∴直线AB的方程为． （2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0）， 则由（1）知
=
，
，
∴线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=﹣（x﹣∵线段AB的垂直平分线交x轴于点（n，0）， ∴令y=0，得n=2+
=
=2（，或
）2+， ，
）．
又∵k＞﹣，且k≠0，∴∴n＞2（0+）2+=2．
∴n的取值范围是（2，+∞）． 点评：本题考查直线方程的求法， 考查n的取值范围的求法．具体涉及到抛物线的简单性质、
直线方程、根的判别式等基本知识，解题时要认真审题，合理地进行等价转化． 22．（12分）（2009?福建）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆
的左
顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线
分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
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（2）求线段MN的长度的最小值；
（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由． 考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：压轴题． 分析：（1）因为直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆
的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可．
（2）法一、引入直线AS的斜率k，用点斜式写出直线AS的方程，与l的方程联立求出点M的坐标，以及点S的坐标，又点B的坐标已知，故可解 出直线SB的方程，亦用参数k表示的方程，使其与直线l联立，求出点N的坐标，故线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数，根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值，本题适合用基本不等式求最值．
法二、根据图形构造出了可用基本不等式的形式来求最值． （3）在上一问的基础上求出参数k，则直线SB的方程已知，可求出线段AB的长度，
若使面积为，只须点T到直线BS的距离为平行且距离为
即可，由此问题转化为研究与直线SB
的直线与椭圆的交点个数问题，下易证
解答：解： （1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0）， 上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1
故椭圆C的方程为
（4分）
（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），
得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0
从而，由
设S（x1，y1），则得，从而
即，（6分）
又B（2，0）由得，
∴故又k＞0，∴
，（8分）
当且仅当
，即
时等号成立．
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∴
时，线段MN的长度取最小值（10分）
（2）另解：设S（xs，yS），线斜率存在， 由kAM=kAS，可得
依题意，A，S，M三点共线，且所在直
同理可得：又
所以，=
不仿设yM＞0，yN＜
当且仅当yM=﹣yN时取等
0号， 即
（3）由（2）可知，当MN取最小值时，此时BS的方程为
，∴
时，线段MN的长度取最小值．
（11分）
，
要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于所以T在平行于BS且与BS距离等于设直线l'：x+y+t=0，则由
的直线l'上．
或
．
，此时点T有两个满足条
，解得
又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得件．（14分）
点评：本题是解析几何中直线与圆锥曲线位置关系中很复杂的题目， 要求答题者拥有较高的
探究转化能力以及对直线与圆锥曲线位置关系中特征有较好 的理解，且符号运算能力较强才能胜任此类题的解题工作，这是一个能力型的题，好题．
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