∵?EAD＝?FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD，∴AF＝AE＝8，DF＝DE，∵OA＝OD＝5，∴OF＝3，在Rt△DOF中，DF＝OD2?OF2＝4，∴AF＝AE＝8 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系
点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．
11．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.
(1)设AB的长为a，PB的长为b(b (2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长. 【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6. 【解析】 试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积． （2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长． 试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置， ∴△PAB≌△P'CB， ∴S△PAB=S△P'CB， S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）； （2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B， ∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°， ∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32； 又∵∠BP′C=∠BPA=135°， ∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形． PC= =6． 考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质． 12．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为?AB，P是半径OB上一动点，Q是?AB上的一动点，连接PQ. 发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________； ?的长； 思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求BQ （2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积； 探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离． ?【答案】发现： 90°，102； 思考：（1） 到折痕PQ的距离为30. 【解析】 10?；（2）25π?1002+100；（3）点O3分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论； 思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论； （2）先在Rt△B'OP中，OP2+(102?10)2=（10-OP）2，解得OP=102?10，最后用面积的和差即可得出结论． 探究：先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM= 1OO′=30． 2详解：发现：∵P是半径OB上一动点，Q是?AB上的一动点， ∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合， 此时，∠POQ=90°，PQ=OA2?OB2=102； 思考：（1）如图，连接OQ， ∵点P是OB的中点， 11OB=OQ． 22∵QP⊥OB， ∴∠OPQ=90° ∴OP= 在Rt△OPQ中，cos∠QOP=∴∠QOP=60°， ∴lBQ= OP1?， OQ260??1010??； 1803（2）由折叠的性质可得，BP＝B′P，AB′＝AB＝102， 在Rt△B'OP中，OP2+(102?10)2=（10-OP）2 解得OP=102?10， 90??1021S阴影=S扇形AOB-2S△AOP=?2??10?(102?10) 3602＝25π?1002+100； 探究：如图2，找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P， ?则OM=O′M，OO′⊥PQ，O′P=OP=3，点O′是B?Q所在圆的圆心， ∴O′C=OB=10， ∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点， ∴O′C⊥AO， ∴O′C∥OB， ∴四边形OCO′B是矩形， 在Rt△O′BP中，O′B=62?42?25， 在Rt△OBO′K，OO′=102?(25)2=230， ∴OM= 11OO′=×230=30， 22即O到折痕PQ的距离为30． 点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l= n?R（n为圆心角度数，R为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常180考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分． 13．问题发现． (1)如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为______． (2)如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值． (3)如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) CD?【解析】 129615;(2) CM?MN的最小值为.(3) 5252试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作C关于BD的对称点C?，过 C?作BC的垂线，垂足为N，求C?N的长即可;(3) 连接AC，则 S四AGCD?SVADC?SVACG，GB?EB?AB?AE?3?2?1，则点G的轨迹为以E为圆 心，1为半径的一段弧．过E作AC的垂线，与⊙E交于点G，垂足为M，由 VAEM∽VACB求得GM的值，再由S四边形AGCD?SVACD?SVACG 求解即可. 试题解析： （1）从C到AB距离最小即为过C作AB的垂线，垂足为D， CD?ABAC?BC??SVABC， 22AC?BC3?412??， AB55（2）作C关于BD的对称点C?，过C?作BC的垂线，垂足为N，且与BD交于M， ∴CD? 则CM?MN的最小值为C?N的长， 设CC?与BD交于H，则CH?BD， ∴VBMC∽VBCD，且CH?∴?C?CB??BDC，CC??∴VC?NC∽VBCD， 12， 524， 524?4CC??BC96， ∴5C?N???BD52596即CM?MN的最小值为． 25（3）连接AC，则S四AGCD?SVADC?SVACG， GB?EB?AB?AE?3?2?1， ∴点G的轨迹为以E为圆心，1为半径的一段弧． 过E作AC的垂线，与⊙E交于点G，垂足为M， ∵VAEM∽VACB， EMAE?∴， BCACAE?BC2?48??， ∴EM?AC5583∴GM?EM?EG??1?， 55∴S四边形AGCD?SVACD?SVACG，
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