整式因式分解的定义和方法

式的乘积，即F?MN?PQ，即F?MQPN,这样就把多项式F表示成二阶行列式

的形式，然后再对这个二阶行列式进行初等变换，提出因式.

对任意的一元n次多项式P?x??anxn?an?1xn?1???a1x?a0均可写成n行列式

x?1x?a10???00?00?anx?an?10?a0?1?的形式P?x??在此基础上，利用行列式的性质，降

a2?an?2阶和提取公因式的方法分解.

例2.13 分解多项式f?x??5x4?24x3?15x2?118x?24

x?1x00?1x00?1x?1x00?1000?10000 解 f?x??=

24?118?155x?2424?1185x2?24x?155x?24

x?1x0?1x5x?1x251 x?5 =0

=?5x?1?024241185x2?24x?15 =??5x?1?

=3?5x?1?

x8=3?5x?1?81?x2?5x?2?

24?x?5x?232x?1x112x?5x?23?1x?13?=?5x?1?x8x?3?x?3??x?2?

=?5x?1??x?3?x81?x?2?

沈阳大学毕业设计（论文） No 13

=?5x?1??x?3??x2?2x?8???5x?1??x?3??x?4??x?2? 例2.14 分解多项式P?x4?y4??x?y?4 解 P? = =2?x

=2?x2?y2?xy?

2x4?y4?11?x?y?4=

x4?y4x?y?2xy2x?2y?3xy44?22??11

2xy2x?2y?3xy?x4?y422??12=2xy2x?2y?3xy?xy?x4?y4?x2y222??1221

2?y2?x2y22xyx?y?xy??222??11=2?x?y?xy?22x2?y2?xy2xy?11

2.8 利用因式分解惟一性定理

数域p上任一次数大于0的多项式f?x?都有唯一的标准分解式

r2?x??psrs?x? （*） f?x??ap1r1?x?p2r?x??psr?x?是p首项系数为1的不可约多其中a为f?x?的首项系数，p1r?x?p212s?rn都是正整数.对（*）式两边求导，得项式且两两互异，r1、r2、r2?1?x??psrs?1?x?，其中每个pi?x?都不能整除g?x?，用辗转相除f'?x??ag?x?p1r1?1?x?p2法

?f?x?,f?x???p?x?p?x??p?x?'r11r22rssr?x??psr?x?，使，则存在f?x??ap1r?x?p212sf?x??f?x?,f'?x?q?x?，由此可见q?x?和f?x?具有完全相同的因式，差别只是q?x?

??中的因式的重数为1，所以求f?x?的因式就可以转化成求q?x?的因式. 例2.15 求多项式f?x??x5?10x3?20x2?15x?4在有理数域上的标准分解

沈阳大学毕业设计（论文） No 14

式

解 由f'?x??5x4?30x2?40x?15，?f?x?,f'?x???x3?3x2?3x?1 可得

g?x???f?x??x2?3x?4 'f?x?,f?x??所以的不可约因式为x?4，x?1.但是?f?x?,f'?x????x?1?3，由重因式定理知，x?1是f?x?的4重因式，所以f?x???x?1?4?x?4?. 2.9 利用矩阵的初等行变换法 因为

'f?x?10f'?x?01?f?x?,f?x??u?x?v?x?，并且u?x?，v?x?满足

初等行变换'0**?f?x?,f?x???u?x?f?x??v?x?f'?x?，所以根据上述过程求出?f?x?,f?x??，再用重因式

'分离法求出多项式f?x?的标准分解式..

例2.16 求多项式f?x??x5?10x3?20x3?15x?4的标准分解 解 因为

f?x??x5?10x3?20x3?15x?4

所以

f'?x??5x4?30x2?40x?15

由

x?10x?20x?15x?410x4?6x2?8x?301532x3?3x2?3x?1?初等行变化????014x?34?x20 2?x?3x?420易见

?f?x?,f?x???x'3?3x2?3x?1??x?1?

3又因为

沈阳大学毕业设计（论文） No 15

?所以

f?x??x2?3x?4??x?4??x?1? 'f?x?,f?x??f?x???x?1??x?4?

42.10利用单位根的性质

复数1的n次根， 即多项式f?x??xn?1的n个复根， 称为n次单位根. n次单位根是??cos2k?2k??i?0,1,2?n?1?. ?isinnn 单位根在复数域中有特殊的地位，具有许多独特的性质.值得注意的是，利用单位根分解因式的方法局限性很大，仅适用于f?x??xn?1?xn?2??x?1和

f?x??xn?1在指定数域上的标准分解式.下面我们利用它来求多项式

f?x??xn?1?xn?2??x?1在复数域 、 实数域或有理数域上的标准分解式.

例2.17 求f?x??x7?x6???x2?x?1在实数域上的标准分解式。 解 因为?x?1?f?x??x8?1，所以先求x8?1在实数域上的标准分解式.

x8?1的八个单位根是

?1?co0s?isin0?1 ?2?cos?isin4??4?22?i 22 ?3?cos?isin?i ?4?cos22s?isin???1 ?6?cos ?5?co???3?3?22?isin???i 44225?5?22?isin???i 44227?47?422?i 22 ?7?cos?isin??i ?8?cos?isin?3?23?2 其中是?1，?5实根，其余都是虚根，?2与?8共轭，?3与?7共轭，?4与?6共轭.

沈阳大学毕业设计（论文） No 16