第23届全国中学生物理竞赛复赛试卷
一、（23分）有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞．以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。现用支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔T拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计。从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离（用H表示）的可能值以及与各H值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。 二、（25分）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l，两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M的小球A，以一给定速度v0沿垂直于杆DB的方间与右端小球B作弹性碰撞。求刚碰后小球A,B,C,D的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。 三、（23分）有一带活塞的气缸，如图1所示。缸内盛质量的气体。缸内还有一可随轴转动的叶片，转轴伸到外界可使轴和叶片一起转动，叶片和轴以及气缸壁和活绝热的，它们的热容量都不计。轴穿过气缸处不漏气。 如果叶片和轴不转动，而令活塞缓慢移动，则在这种过实验测得，气体的压强p和体积V遵从以下的过程方程式有一定
气缸外，塞都是 程中，由图1
其中a,k均为常量,a＞1（其值已知）。可以由上式导出，在此过程中外界对气体做的功为 式中V2和V1,分别表示末态和初态的体积。 如果保持活塞固定不动，而使叶片以角速度?做匀角速转动，已知在这种过程中，气体的压强的改变量?p和经过的时间?t遵从以图2 下的关系式 式中V为气体的体积，L表示气体对叶片阻力的力矩的大小。 上面并没有说气体是理想气体，现要求你不用理想气体的状态方程和理想气体的内能只与温度有关的知识，求出图2中气体原来所处的状态A与另一已知状态B之间的内能之差（结果要用状态A、
B的压强pA、pB和体积VA、VB及常量a表示） 四、（25分）图1所示的电路具有把输人的交变电压变成直流电压并加以升压、输出的功能，称为整流倍压电路。图中D1和D2是理想的、点接触型二极管（不考虑二极管的电容），C1和C2是理想电容器，它们的电容都为C，初始时都不带电，G点接地。现在A、G间接上一交变电源，其电压uA，随时间t变化的图线如图2所示．试分别在图3和图4中准确地画出D点的电压uD和B点的电压uB在t＝0到t=2T时间间隔内随时间t变化的图线，T为交变电压uA的周期。
图2图1
图3 图4
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五、（25分）磁悬浮列车是一种高速运载工具。它具有两个重要系统。一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组（线圈）中，通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力。
为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下面的问题。
设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度B随时间t和空间位置x变化规律为
式中B0、?、k均为已知常量，坐标轴x与轨道平行。在任一时刻t，轨道平面上磁场沿x方向的分布是不均匀的，如图所示。图中Oxy平面代表轨道平面，“×”表示磁场的方向垂直Oxy平面指向纸里，“·”表示磁场的方向垂直Oxy平面指向纸外。规定指向纸外时B取正值。“×”和“·”的疏密程度表示沿着x轴B的大小分布。一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQ处在该磁场中，已知与轨道垂直的金属框边MN的长度为l，与轨道平行的金属框边MQ的长度为d，金属框的电阻为R，不计金属框的电感。1．试求在时刻t，当金属框的MN边位于x处时磁场作用于金属框的安培力，设此时刻金属框沿x轴正方向移动的速度为v。 2.试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系。 六、（23分）有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。所有光学元件均放在一直长圆筒内。筒内有：三个焦距分别为f1、f3的透镜L1,L2,L3，f1?f2?f3；f2和
观察
屏P，它是一块带有刻度的玻璃片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的图1 分光元件（如图1所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S，缝平行于棱镜的底面．当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。 已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3nm，称为D线）位于圆筒轴与观察屏相 交处。制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D线的折射率nD＝1.5170;另一种为火石玻璃，它对钠D线的折射率n?D=1.7200。 1.试在图2中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。 2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角?的数值。 图2 七、（16分）串列静电加速器是加速质子、重进行核物理基础研究以及核技术应用研究的右图是其构造示意图。S是产生负离子的装为离子源；中间部分N为充有氮气的管道，通压装置H使其对地有5.00?106V的高压。现将
离子
设备，置，称过高氢气
通人离子源S，S的作用是使氢分子变为氢原子，并使氢原子粘附上一个电子，成为带有一个电子电量的氢负离子。氢负离子（其初速度为0)在静电场的作用下，形成高速运动的氢负离子束流，氢负离子束射入管道N后将与氮气分子发生相互作用，这种作用可使大部分的氢负离子失去粘附在它们上面的多余的电子而成为氢原子，又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子。已知氮气与带2019-8-5
电粒子的相互作用不会改变粒子的速度。质子在电场的作用下由N飞向串列静电加速器的终端靶子T。试在考虑相对论效应的情况下，求质子到达T时的速度v。
电子电荷量q?1.60?10?19C，质子的静止质量m0?1.673?10?27kg。
第23届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答及评分标准
一、参考解答：
解法一
小球沿竖直线上下运动时，其离开玻璃管底部的距离h随时间t变化的关系如图所示．设照片拍摄到的小球位置用A表示，A离玻璃管底部的距离为hA，小球开始下落处到玻璃管底部的距离为H.小球可以在下落的过程中经过A点，也可在上升的过程中经过A点.现以?表示小球从最高点（即开始下落处）落到玻璃管底部所需的时间（也从玻璃管底部反跳后上升到最高点所需的时间），示小球从最高点下落至A点所需的时间（也就是从上升至最高点所需的时间），?2表示小球从A点下玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反跳O t h H hA 就是
?1表
A点落至后上在时
?1??2??.根据题意，升至A点所需的时间）.显然，间间隔??的起始时刻和终了时刻小球都在A点．用n表示时间间隔???内（包括起始时刻和终了时刻）小球位于A点的次数（n≥2）.下面分两种情况进行讨论： 1．A点不正好在最高点或最低点． 当n为奇数时有 T??n?1??1??n?1??2??n?1??n?3,5,7, （1）
在（1）式中，根据题意?1可取0??1??中的任意值，而
当n为偶数时有
由（3）式得
?1??2
T?n?2??n?2??1?n?1??n?2??2n?2,4,6,?2????1
（2）
（3）
（4）
由（1）、（3）、（4）式知，不论n是奇数还是偶数，都有 2019-8-5
T??n?1??n?2,3,4, （5）
因此可求得，开始下落处到玻璃管底部的距离的可能值为
11?T?Hn?g?2?g??n?2,3,4,22?n?1?2 （6）
若用Hn表示与n对应的H值，则与Hn相应的A点到玻璃管底部的距离
1hA?Hn?g?12n?2,3,4,2（7）
当n为奇数时，?1可取0??1??中的任意值，故有
2?1?T??·· 0?hA?Hn?Hn?g???n=3,5,7,·2n?1??????（8）
可见与Hn相应的hA的可能值为0与Hn之间的任意值． 当n为偶数时，?1??，由（6）式、（7）式求得Hn的可能值
3hA?Hn42?1?T??·· ?Hn?g???n=2,4,6,·2n?1??????12（9）
2．若A点正好在最高点或最低点． 无论n是奇数还是偶数都有
T?2?n?1??n=2,3,4,··· （10） （11）
121?T?Hn?g??g?·· ?n=2,3,4,·22?2n?1?????2????1T??·· hA?Hn?Hn?g???n=2,3,4,·22n?1??????????2 或
解法二
（12）
hA?0
（13）
因为照相机每经一时间间隔T拍摄一次时，小球都位于相片上同一位置，所以小球经过该位置的时刻具有周期性，而且T和这个周期的比值应该是一整数．下面我们就研究小球通过某个位置的周期性．
设小球从最高点（开始下落处）落下至管底所需时间为??，从最高点下落至相片上小球所在点（A点）所需时间为?1，从A点下落至管底所需时间为?2，则 2019-8-5
???1??2
（1）
（小球上升时通过相应路程段所需时间与下落时同一路程所需时间相同，也是?、?1和?2）
从小球在下落过程中经过A点时刻开始，小球经过的时间2?2后上升至A点，再经过时间2?1
后又落到A点，此过程所需总时间为2?1?2?2?2?．以后小球将重复这样的运动．小球周期性重复出现在A点的周期是多少？分两种情况讨论：
（1）．?1??2，?1和?2都不是小球在A点重复出现的周期，周期是2?．
（2）．?1??2，小球经过时间2?2??回到A点，再经过时间2?1??又回到A点，所以小球重复出现在A点的周期为?． 下面就分别讨论各种情况中H的可能值和A点离管底的距离hA的可能值．（如果从小球在上升过程中经过A点的时刻开始计时，结果一样，只是?1和?2对调一下） 1．H的可能值
（1）．较普遍的情况，?1??2．T与2?的比值应为一整数，?的可能值应符合下式
T?k，k?1,2,3,2? （2）
由自由落体公式可知，与此相应的Hk的数值为
11?T?Hk?g?2?g??k?1,2,3,22?2k?2 （3）
（2）．?1??2．?的可能值应符合下式
故Hk?的可能值为
11?T?Hk??g?2?g??k??1,2,3,22?k??2T??k?k??1,2,3, （4）
（5）
当k?为偶数时，即k??2,4,6,时，（5）式与（3）式完全相同．可见由（3）式求得的H的可能值包含了?1??2的全部情况和?1??2的一部分情况．当k?为奇数时，即k??1,3,5,的H的可能值为
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1?T?Hk??g??k??1,3,5,2?k??2时，由（5）式得出
（6）
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