江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研(二)数学试题

a5a3因此，f(x)的极大值为f(?a)?1?a，f(x)的极小值为f()?1?.

3273② 当a?0时，b?0，此时f(x)?x3?1不存在三个相异零点；

a5a3当a?0时，与①同理可得f(x)的极小值为f(?a)?1?a，f(x)的极大值为f()?1?.

3273要使f(x)有三个不同零点，则必须有(1?a3)(1?即a3??1或a3?53a)?0， 2727. 5不妨设f(x)的三个零点为x1,x2,x3，且x1?x2?x3，

则f(x1)?f(x2)?f(x3)?0，

3f(x1)?x1?ax12?a2x1?1?0， ① 32f(x2)?x2?ax2?a2x2?1?0， ② 32f(x3)?x3?ax3?a2x3?1?0， ③

2②-①得(x2?x1)(x2?x1x2?x12)?a(x2?x1)(x2?x1)?a2(x2?x1)?0， 2因为x2?x1?0，所以x2?x1x2?x12?a(x2?x1)?a2?0， ④ 22同理x3?x3x2?x2?a(x3?x2)?a2?0， ⑤

⑤-④得x2(x3?x1)?(x3?x1)(x3?x1)?a(x3?x1)?0， 因为x3?x1?0，所以x2?x3?x1?a?0， 又x1?x3?2x2，所以x2??a. 32327a??1， 所以f(?)?0，即a2???a2，即a3??9a113因此，存在这样实数a??33满足条件. 11（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则k1?3m2?2am?b，k2?3n2?2an?b，

f(m)?f(n)(m3?n3)?a(m2?n2)?b(m?n)又k1???m2?mn?n2?a(m?n)?b，

m?nm?n由此可得3m2?2am?b?m2?mn?n2?a(m?n)?b，化简得n??a?2m， 因此，k2?3(?a?2m)2?2a(?a?2m)?b?12m2?8am?a2?b， 所以，12m2?8am?b?a2?4(3m2?2am?b)， 所以a2?3b.

20. 解：（1）设数列{Sn}的公差为d?，由6Sn?9bn?an?2， ①

6Sn?1?9bn?1?an?1?2(n≥2)， ②

①-②得6(Sn?Sn?1)?9(bn?bn?1)?(an?an?1)， ③ 即6d??9(bn?bn?1)?d，所以bn?bn?1?6d??d为常数， 9所以{bn}为等差数列．

（2）由③得6bn?9bn?9bn?1?d，即3bn?9bn?1?d，

d11dd13bn?1??3(bn?1?)??1?132?232??3?3所以是与n无关的常数，

1111bn?1?bn?1?bn?1?bn?1?2222bn?所以①当

d1?1?0或bn?1?为常数． 32d?1?0时，d?3，符合题意； 31为常数时， 2在6Sn?9bn?an?2中令n?1，则6a1?9b1?a1?2，又a1?1，解得b1?1，…8分

②当bn?1?所以bn?1?113?b1??， 222dd?1?133?3??1，解得d??6． 此时3?13bn?1?22综上，d?3或d??6． （3）当d?3时，an?3n?2， 由（2）得数列{bn?}是以

123131为首项，公比为3的等比数列，所以bn???3n?1=?3n，即22221bn=(3n?1)．

2当n≥2时，cn?bn?bn?1?当n?1时，也满足上式， 所以cn?3n?1(n≥1)．

设an?ci?cj(1≤i?j)，则3n?2?3i?1?3j?1，即3n?3i?1(3j?i?1)?2， 如果i≥2，因为3n为3的倍数，3i?1(3j?i?1)为3的倍数， 所以2也为3的倍数，矛盾．

所以i?1，则3n?3?3j?1，即n?1?3j?2(j?2,3,4,L)．

所以数列{an}中存在无穷多项可表示为数列{cn}中的两项之和．

1n1(3?1)?(3n?1?1)?3n?1， 222017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）

附加题参考答案

21.A 解 连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED. 因为OA＝OE，所以∠1＝∠OEA. 又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA， 所以OE∥AC，∴AC⊥DE．

21.B 解 由

l-2=0，得(l-2)(l-x)-4=0的一个解为3，代入得x=-1，

-4l-x -1因为M???2?41??1，所以M?1???1?6???2??31?6??. 1??3??2221.C解 消去参数t，得到圆的普通方程为(x-3)+(y+2)=4, 由2?cos(???4)?a，得?cos???sin??a?0,

所以直线的直角坐标方程为x+y-a=0. 依题意，圆心C到直线的距离等于2，即|3-2-a|解得a=-1或3. =2，221.D 证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1， 所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2. 由柯西不等式：(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2， 5(1－c2)≥(1－c)2，

2

整理得，3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.

3

2

所以－≤c≤1.

3

11?(1?)(1?m)(1?n)?,??3322. 解（1）由题意，得?

11?mn?.?36?311又m?n，解得m?，n?.

341232132214（2）由题意，a??????????.

33433433491417b?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?3)?1????.

393636147111E(X)?0??1??2??3??.

3936361223. 解（1）当n?2时，

14325f(x)?(x?5)5?C50x5?C5x5?C52x3(5)2?C5x(5)3?C54x(5)4?C5(5)5， 135所以f(2)?f(?2)?(2?5)5+(?2?5)5?2[C5(5)124?C5(5)322+C5(5)520]

=2(5?165+10?4?55+255)=6105，

所以A?610.

02n?112n22n?12n?12n?1（2）因为f(x)?(x?5)2n?1?C2， ?C25?C2(5)2?L?C2n?1xn?1xn?1xn?1(5)02n?112n22n?12n?12n?1所以f(2)?C2， ?C25?C2(5)2?L?C2n?12n?12n?12n?1(5)由题意f(2)?(5?2)2n?1?m?? (m?N*,0???1)， 首先证明对于固定的n?N*，满足条件的m,?是唯一的.

假设f(2)?(2?5)2n?1?m1??1?m2??2(m1,m2?N*,0??1,?2?1,m1?m2,?1??2)， 则m1?m2??2??1?0，而m1?m2?Z，?2??1?(?1,0)U(0,1)，矛盾. 所以满足条件的m,?是唯一的. 下面我们求m及?的值：

因为f(2)?f(?2)?(2?5)2n?1?(?2?5)2n?1?(2?5)2n?1?(2?5)2n?1

02n?122n?142n?3112n?2[C2?C2(5)2?C2(5)4+L+C2n?12n?12n?12n?12(5)]，

显然f(2)?f(?2)?N*.

又因为5?2?(0,1)，故(5?2)2n?1?(0,1)， 即f(?2)?(?2?5)2n?1?(5?2)2n?1?(0,1).

02n?122n?142n?3112n所以令m?2[C2?C2(5)2?C2(5)4+L+C2n?12n?12n?12n?12(5)]，

??(?2?5)2n?1，则m?f(2)?f(?2),??f(?2)，又m???f(2)，

所以?(m??)?f(?2)?f(2)?(2?5)2n?1?(?2?5)2n?1?(5?4)2n?1?1.