竞赛辅导——三角函数与解三角形 一、单选题
1．已知函数 （ ） 的图象经过点 和 .若函数 在区间 上有唯一零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． -
C．
D． -
【答案】D
【分析】利用题设条件，求出函数的解析式，结合函数的零点和三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，可得 ，解得 ，故 ， 因为 ，令 ，得 ，即 ，
又由 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 ， 又由 ，则
，所以
令 ，则由题意得 在 根据正弦函数图象可得 或
，
上有唯一的解，
解得 ，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及函数的零点问题的求解，其中解答中根据三角函数的性质，求得三角函数的取值，结合图象列出不等式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 2．已知函数 （ ），若 是函数 的一条对称轴，且 ，则点 满足的关系为（ ）
A． B． C． D． 【答案】B
【分析】由辅助角公式，对原式化简 ，再利用 是函数 的一条对称轴，且 ，求得a、b的关系可得答案.
【详解】因为 ，根据辅助角公式可得：
因为 是函数 的一条对称轴，即 ，即 因为 ，所以
即
故选B
【点睛】本题考查了三角函数的性质以及辅助角公式的运用，熟悉公式和性质是解题的关键，属于中档题.
3．在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知 , , ,则 的面积（ ） A．
B．
【答案】D
【分析】本题利用余弦定理，倍角公式，内角和定理进行化简，可求得角A和C的值，再利用正弦定理和面积公式求得结果即可.
【详解】由题， ， 所以
C．
D．
所以 由题
又因为锐角三角形ABC，所以
，即
，即
根据 代入可得， 面积
再根据正弦定理：
故选D
【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形的综合，以及三角恒等变化公式的的运用，熟悉公式，灵活运用是解题的关键，属于中档偏上题.
4．已知函数 （ ， ）的部分图像如图所示，且 在 上恰有一个最大值和一个最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件先求出 的值，结合 在 上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条件的表达式进行求解即可．
【详解】由题意知， ，
，
，
，
， ，
上 上恰有一个最大值和一个最小值，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于难题.对于这类型问题，结合一个周期性函数最大值和最小值对应的范围是解决本题的关键，一定要注意区间端点的取值情况.
5．三角形 的三边分别是 ，若 ， ，且 ，则有如下四个结论： ① ② 的面积为
③ 的周长为 ④ 外接圆半径
这四个结论中一定成立的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C
【分析】由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简 或 ，即 ；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论． 【详解】 ， ，可得
，可得 外接圆半径
，④正确；
，即为 ，
即有 ，
则 ，即 或 ，即 ； 若 ， ， ，可得 ，①可能成立；
由 可得
， ，则三角形的周长为
；面积为
；
则②③成立；
若 ，由 ， 可得
，
，
则三角形的周长为 ；面积为
则②③成立①不成立；
综上可得②③④一定成立,故选C．
【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
；
二、填空题
6．已知函数 ，对任意 ， ，将函数 的图象向右
平移 个单位后，所得图象关于原点中心对称，则函数 在 上的值域为___． 【答案】
【分析】先由周期性求得 ，由平移求得 ，再求三角函数在区间上的值域. 【详解】由题意知函数 的周期为 ， ∴ ，即 .
将函数 的图象向右平移 个单位后得： 由其图象关于原点中心对称，故 .
∵ ，∴ ，故 .
∵ ，∴
，
.
∴ ，即函数 在 上的值域为 .
【点睛】本题考查三角函数的性质，求出三角函数的解析式是解题关键.
若存在实数 当 时，满足 7．已知函数
，则 的取值范围是_________________. 【答案】 .
【分析】画出分段函数的图象，作出直线 ，结合函数的图象可得实数 的取值范围，再运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得 和 ，利用二次函数的性质，即可求解.
， 【详解】由题意，函数
画出函数的图象，如图所示， 令，则 ，
由图象可知，设 和函数 的图象有四个交点， 可得
其中 ，则 ，解得 ， 且 ，则
所以
，其中 ，
设 ，则函数 ，函数 单调递增， 则 ，
所以 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中正确作出函数的图象，结合图象，利用对数函数的运算性质以及余弦函数的对称性，再利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题. 8．已知函数 .给出下列结论： ①函数 是偶函数；
②函数 的最小正周期是 ;
③函数 在区间 上是减函数；
④函数 的图象关于直线 对称． 其中正确结论的序号是___________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④
【分析】利用三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）分析每一个选项，易得出结果.
【详解】由题， ，定义域为 关于原点对称，
，所以为偶函数，①正确；
所以函数 的最小正周期是 ，②正确；
，所以函数 在区间 上不是减函数，
③错误；
而
所以 ，即函数 的图象关于直线 对称，④正确 故答案为①②④
【点睛】本题考查了三角函数的性质，熟悉函数奇偶性、周期性、单调性、对称性是解题的关键，属于较难题. 9．在 中， 分别为角 所对的边，若 ， 的面积为 ，则 的最小值为__________． 【答案】 【分析】直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面积的应用和三角函数关系式的恒等变换和导数的应用求出结果． 【详解】设 ，则：
由于 ， 所以： 则： 设
． ，
，
所以： ，
因为当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 的最小值为 ， 故 的最小值为 ， 故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换，导数的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，考查了函数的思想，以及转化得思想，属于难题．对于范围（最值）问题，常用的有三种方法：（1）构造函数法，通过构造与参数有关的函数，利用导数研究函数的值域与最值，即可得到参数范围；（2）基本不等式法，利用基本不等式确定参数的最值（范围）；（3）数形结合法：通过寻求参数满足的约束条件，建立与参数有关的目标函数，然后利用数形结合的方法求出范围（最值）. 三、解答题
10．函数 的部分图象如图所示.
（1）求 的解析式.
（2）若不等式 ，对任意 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）f (x)＝2sin(2x－ )． （2）（ －3， ）． 【分析】 （1）利用
，再用 （ ），求出 即可；
（2） ，得 ，转化成
，最后求出 的取值范围. 【详解】 （1）因为
，所以 ，
又因为 （ ），且 ，所以 ， 故 ．
，即
（2）由（1）知 ，当 时， ， ，
又对任意 ， 恒成立，
＜ ＋ ，即 ， ＞ －
故 的取值范围是 ． 【点睛】
本题属于三角函数的综合题，考查了三角函数的周期性和已知定义域，求三角函数的值域等问题，难点在于对绝对值要进行分段处理和化简.
11．已知函数 .
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若 ，对于任意的 ， 都有 ，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 或 【分析】
（1）先用辅助角公式化简函数解析式，再将 代入，得到
，得到不等式 ，
从而得到 ，化简求得 ，进而得到不等式的解集；
（2）当 时，求得函数 ，分情况讨论 的范围，利用对应的条件，等价结果为两个函数的值域交集为空集，从而求得参数的范围. 【详解】
（1） ，
当 时， ，所以 ，即 . 所以
，所以
故原不等式的解集为 .
（2）当 时， ， 当 时，则
当 时， ，所以 ，所以 ； 当 时， ，所以 ，所以 . 综上， 或 . 【点睛】
该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有利用辅助角公式化简函数解析式，求三角不等式的解集，利用两个函数值没有相等的，等价于两个函数的值域交集为空集，从而得到参数的范围，属于中档题目. 12．已知 ， . （1）求当a=1时，f(x)的值域；
（2）若函数f(x)在 内有且只有一个零点，求a的取值范围. 【答案】（1） 的值域为 ；（2） 或 【分析】
（1）当 时， ，令 ，则 ， 再利用二次函数的图像和性质求以 的值域为 ；
（2）令 ， ，所以 在 内有且只有一个零点等价于
在 内有且只有一个零点， 无零点.再分类讨论求
a的取值范围. 【详解】
（1）当 时， ，令 ，则 ， 所以
.
，所以 .
，
，
当 时， ，
当 时， ， 所以 的值域为 .
，
（2） ， 令 ，则当 时， ， 所以
，
，
所以 在 内有且只有一个零点等价于 在 内有且只有一个零点， 无零点. 因为 ，∴ 在 内为增函数，
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