中考必会几何模型：将军饮马模型

将军饮马模型

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 模型1：直线与两定点 模型 作法 A结论 AlPlPA＋PB的最小值为AB BB 当两定点A、B在直线l异侧时，在直线连接AB交直线l于点P，点Pl上找一点P，使PA＋PB最小． 即为所求作的点． BAl 当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小． BAlPPA＋PB的最小值为AB' 作点B关于直线l的对称点B'， 连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点． B'ABl 当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA?PB最大． ABPl PA?PB的最大值为AB 连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点． AAB' lBPlPA?PB的最大值为B AB' 当两定点A、B在直线l异侧时，在直线 作点B关于直线I的对称点B'， 连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点． l上找一点P，使得PA?PB最大． 1

ABl 当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA?PB最小． ABP连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点． lPA?PB的最小值为0 模型实例

例1：如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD＋PE最小值是 ．

ADPEBC

解答：如图所示，∵点B与点D关于AC对称，

∴当点P为BE与AC的交点时，PD＋PE最小，且线段BE的长． ∵正方形ABCD的面积为12，∴其边长为23 ∵△ABE为等边三角形，∴BE＝AB＝23．∴PD＋PE的最小值为23．

例2：如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，

则PA?PB的最大值是多少？

AAPCBDPC解答：

2

B

A' 如图所示，作点A关于CD的对称点A′，连接A′C，连接A′B并延长交CD于点P，则点P就是PA?PB的值最大时的点，PA?PB＝A′B．

∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC等于4，∴∠ACB＝90°． ∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°．

∵点A、A′关于CD对称，∴AA′⊥CD，AC＝CA′， ∵∠ACD＝∠DCA′＝75°，∴∠BCA′＝60°．

∵CA′＝AC＝BC＝4，∴△A′BC是等边三角形，∴A′B＝BC＝4．∴PA?PB的最大值为4． 练习

1．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是 ．

AECDB

解：解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C?，使OC?=OC，连接DC?，交AB于

E，连接C?B，

此时DE+CE=DE+EC?=DC?的值最小．

连接BC?，由对称性可知∠C?BE=∠CBE=45°，∴∠CBC?=90°，∴BC?⊥BC， ∠BCC?=∠BC?C=45°，∴BC=BC?=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1， 根据勾股定理可得：DC?=5，故EC+ED的最小值是5．

2．如图，点C的坐标为（3，y），当△ABC的周长最短时，求y的值．

yA(0,3)OB(2,0)x

解：解：（1）作A关于x=3的对称点A′，连接A′B交直线x=3与点C． ∵点A与点A′关于x=3对称，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．

当点B、C、A′在同一条直线上时，A′C+BC有最小值，即△ABC的周长有最小值． ∵点A与点A′关于x=3对称，∴点A′的坐标为（6，3）．

3

设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝∴y=

33，b＝?． 4233x-． 423 4将x=3代入函数的解析式，∴y的值为

3．如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|的最小值与最大值．

ADMNBC

解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，

因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3， 所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3

模型 P'A作法 A结论 CPPOB ODB△PCD周长的最小值为P′P″ P'' 点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，分别作点P关于OA、OBOA边上找点C，使得△PCD周长最小． 的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求． AAPOB CODPBPD＋CD的最小值为P′C P' 点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小． 作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB4

于D，点C、点D即为所求． APQB O点P、Q在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得四边形PQDC周长最小．

PC＋CD＋DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC周 长的最小值为PQ＋P′Q′ 分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，分别交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求． 模型实例

如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10.在OA上有一点Q，OB上 一点R．若立△PQR周长最小，则最小周长是多少？

OBPA解答

如图，作点P分别关于OA、OB的对称点E、F，连接EF，分别交OA、

OB于点Q、R，连接OE、OF、PE、PF.

EQ?OP，FR=RP．

△PQR的周长的最小值为EF的长.

由对称性可得∠EOQ=∠POQ，∠FOR=∠POR， ∠EOF=2∠AOB=60°． △EOF是正三角形．

EF?OE?OP?10．

即△PQR周长最小值为10.

模型2/角与定点 1．已知，?MON

40°，P为DMON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，

5