案例六 挂画的学问
要把一幅画挂在墙上，画的上下边框要和横梁平行，左右与立柱的距离相等，应该如何钉上
挂钉？
图1-6.1
思路： 这个问题可以转化为和线段的垂直平分线有关的问题。
方案：挂绳拉紧后，挂点到像框边框两端的距离应该相等，考虑到平行和等距的条件，只要横梁的中垂线与边框中垂线二线合一就行了，所以只要画横梁的中垂线，把挂绳的中点定位在横梁中垂线上即可。下面验证“线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等”。 用几何画板验证：
第一步：画一条线段AB。如图1-6.2 AB
图1-6.2
第二步：(1) 用选择工具选取线段AB，(2) 由菜单“作 图”?“中点”（快捷键是Ctrl+M），画出线段AB的
AB中点C，如图1-6.3 C
注意：不要多选其他对象，如果你多选了其他对象，“中如图1-6.3 点”这个选项是灰色的不可用，一般来说，只要选择的对象不符合要求的条件，就不可能使用相应的菜单项。
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第三步：(1) 用“选择”工具按住左键拉一个框经过点C和线段AB（但不要框住A、B两点），这样可以同时选取点C和线段AB，(2) 由菜单“作图”?“垂线”，画出过点C垂直于线段AB的垂线，即是线段AB的垂A直平分线。如图1-6.4
CB注意：如果你画的图不是这样，过点A或B也有了垂线，那是因为你多选了点A或点B。
图1-6.4
第四步：选取“画点”工具，在中垂线上画一点，标记P为P，如图1-6.5
ACB图1-6.5
第五步：(1) 画出线段PA、PB；(2) 选取点P、A，由菜单动画“度量”?“距离”，量得PA，同样量出PB。
P第六步：(1) 同时选取点P和中垂线；(2) 由菜单“编辑”PA = 2.59 cm?“操作类按钮”?“动画”，在弹出的对话框中，设置如PB = 2.59 cm图1-6.6
ACB图1-6.7
图1-6.6
这样在屏幕上会出出一个“动画”按钮，当双击这个按钮时，点P会在直线上双向地移动。便于我们动态地观察。 最后结果如图1-6.7。
注意：不要多选其它对象，这里只需要点P在中垂线上运动。
归纳结论： 序号 操 作 现象 结论(是否相等) 1 拖动点P到另一位置， 这时PA=____ PB=____ PA____PB 2 拖动点P到第二个位置 这时PA=____ PB=____ PA____PB 3 拖动点P到第三个位置 这时PA=____ PB=____ PA____PB 点P在AB的中垂4 双击“动画”按钮， 线上不停的运动， PA____PB
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结论 只要点P在线段AB的中垂线上，实验过程中PA______PB.
如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例六供参考。 练习:
1、我们将在前面作图的基础上，进一步验证等腰三角形、等边三角形的一些性质。 第七步：(1) 选取垂直平分线，将它隐藏；(2) 画出线动画段PC。得到如图1-6.8。 PPA = 2.59 cmPB = 2.59 cmA图1-6.8
第八步：用量距离的方法量AC、BC，量∠PAB、∠PBA、∠APB、∠PCB、∠APC、∠BPC的度数，得到如图1-6.9。
CB
P动画PA = 3.17 cmPB = 3.17 cmAC = 1.47 cmBC = 1.47 cmACBAPC = 27.53?PAB = 62.47?PCB = 90.00?BPC = 27.53?PBA = 62.47?BPA = 55.06?图1-6.9
归纳结论： 序号 操 作 1 2 3 4 5 结论 用鼠标拖动（或双击动画按钮）不断地改变点P位置。
现象 PA和PB总是相等吗？ ____________________ ∠PAB和∠PBA总是相等吗？ ∠PCB总是等于90度吗？______________ AC和CB的长总是相等吗？______ ∠APC和∠BPC总是相等吗？__________ 结论 △PAB是______三角形。 等腰三角形的两底角__________ PC是等腰三角底边上的________ PC是等腰三角形底边上的_________. PC是等腰三角形顶角的_______________. 等腰三角形的两底角_______，底边上的高、底边上的中线、顶角平分线三线__________. 也可以拖动使∠APB=600，再观察边角的变化。
如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例六练习1供参考。
2、学画一个菱形，接第1题，先画出如图1-6.10的图形，由于点P在线段AB的垂直平分线上，所以PA=PB。
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PA
CB图1-6.10
（1）选择线段AB，由“变换”?“标记镜面…”，标记AB为镜面，线段上出现闪烁后消失的两个方框。
说明：标记镜面后，一个对象如果关于这个镜面反射，这时就好象人照镜子一样，人离镜面近，人像离镜面也近，用数学的说法，镜面就是对称轴，反射可以得到对称点或对称图形。
技巧：标记镜面的另两种方法：（1）直接双击直线（线段、射线）；（2）选取直线（线段、射线）后用快捷键Ctrl+G.
（2）同时选取点P、线段PA、PC、PB；（3）由“变换”?“反射”，得到如图1-6.11。
（4）用“文本”工具改各点标签为你想要的，例如得图1-6.12。
说明：在几何画板中，画特殊四边形的方法不只一种，A但不管用哪种方法，都要符合图形的几何关系，也就是当改变大小了位置时，矩形仍是矩形，菱形仍是菱形。
BPDCBAOC图1-6.11 图1-6.12
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案例七 抽水房的位置
在一条河的同一旁有两个村庄A和B，现在要在河边建一个抽水房，应该建在什么位置，
才能使所用的水管的钱最少?
图1-7.1
思路：用钱最少，一般要求所用的水管最短，转化为数学问题，即是在表示河流的直线上找一个点C，使AC+BC最小。
方案：作点A关于河流的对称点A’，连A’B交河流于C，计算AC+CB；在河流上另取一点D，计算AD+DB，通过拖动点D在直线上移动，验证AC+CB最小，从而说明C为最佳点。 用几何画板验证： 第一步：（1）画出表示村庄的点A、B；（2）画一条直B线表示河流，隐藏直线上的两个点，设置直线的标签为
A“河流”，如图1-7.2。 说明：标签可以用中文表示，这种技巧常用来标注点或线等对象的功能，例如：给某一点标上“拖动我改变图形”。
图1-7.2
河流
第二步：（1）选取表示河流的直线；（2）由菜单“变换”?“标记镜面…”，直线上出现闪烁后消失的两个方框。
B第三步：（1）选取点A，由菜单“变换”?“反射”，
得点A关于直线（河流）的对称点；（2）用文本工具A标出标签，默认的是字母A’，得到如图1-7.3
河流A'图1-7.3
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