【创新设计】2021届高考数学(北师大版)一轮训练：第8篇 能力提升练——解析几何

能力提升练——解析几何

(建议用时：90分钟)

一、选择题

1．(2014·山东省实验中学诊断)已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于 A．1或－3 C．1或3

B．－1或3 D．－1或3

( )．

解析 因为直线y＝ax－2的斜率存在且为a，所以－ (a＋2)≠0，所以3x－(a＋2)y＋1＝0的斜截式方程为y＝且

313

x＋，由两直线平行，得＝aa＋2a＋2a＋2

1

≠－2，解得a＝1或a＝－3. a＋2

答案 A

x2y2

2．(2014·南昌模拟)椭圆16＋9＝1的焦距为 A．10 C．7

B．5 D．27

( )．

解析 由题意知a2＝16，b2＝9，所以c2＝a2－b2＝16－9＝7，所以c＝7，即焦距为2c＝27. 答案 D

3．(2014·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2

＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于 A．33 C．3

解析 圆心到直线的距离d＝23. 答案 B

4．(2014·武汉一模)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是

( )．

B．23 D．1

|－5|22

＝1，弦AB的长l＝2r－d＝24－1＝32＋42

( )．

A．(x－2)2＋y2＝13 B．(x＋2)2＋y2＝17 C．(x＋1)2＋y2＝40 D．(x－1)2＋y2＝20

解析 设圆心坐标为C(a,0)，则|AC|＝|BC|，即?a－5?2＋22＝?a＋1?2＋42，解得a＝1，所以半径r＝?1＋1?2＋42＝20＝25，所以圆C的方程是(x－1)2＋y2＝20. 答案 D

x2y2

5．(2014·上饶模拟)设双曲线a2－9＝1(a＞0)的焦点为(5,0)，则该双曲线的离心率等于 3A.2 5C．4

4B.3 5D.3 ( )．

解析 因为双曲线的焦点为(5,0)，所以c＝5，又a2＋9＝c2＝25，所以a2＝16，c5a＝4，所以离心率为e＝a＝4. 答案 C

6．(2014·萍乡一模)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点在直线x－2y－2＝0上，则该抛物线的准线方程为 A．x＝－2 C．x＝－8

B．x＝4 D．y＝－4

( )．

p?p?解析 抛物线的焦点坐标为?2，0?，代入直线x－2y－2＝0方程，得2－2＝0，

??p4

即p＝4，所以抛物线的准线方程为x＝－2＝－2＝－2. 答案 A

x2y2

7．(2014·郑州模拟)以双曲线6－3＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是

A．(x－3)2＋y2＝3 C．(x－3)2＋y2＝3

B．(x－3)2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝3

( )．

2

2

解析 双曲线的右焦点为(3,0)，双曲线的渐近线为y＝±2x，不妨取渐近线y2

＝2x，即2x－2y＝0，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即r＝|32|?2?2＋2答案 D

x2y2

8．(2014·萍乡一模)若抛物线y＝2px的焦点与椭圆6＋2＝1的右焦点重合，则

2

＝2

323

＝＝3.所以圆的方程为(x－3)2＋y2＝3. 63

p的值为 A．－2 C．－4

B．2 D．4

( )．

p?p?

解析 抛物线的焦点坐标为?2，0?，椭圆的右焦点为(2,0)，所以由2＝2，得p

??＝4. 答案 D

9．(2014·杭州模拟)已知两点M(－5,0)和N(5, 0)，若直线上存在点P，使|PM|－|PN|＝6，则称该直线为“R型直线”．给出下列直线：①y＝x＋1；②y＝2；③y4

＝3x；④y＝2x＋1，其中为“R型直线”的是 A．①② C．①④

B．①③ D．③④

( )．

解析 由题意可知，点P的轨迹是在双曲线的右支上，其中2a＝6，a＝3，cx2y2

＝5，所以b＝c－a＝16.所以双曲线方程为9－16＝1(x＞0)．显然当直线y

2

2

2

＝x＋1与y＝2和双曲线的右支有交点，所以为“R型直线”的是①②. 答案 A

x2y2

10．(2014·镇安中学模拟)已知抛物线y＝4px(p＞0)与双曲线a2－b2＝1(a＞0，b

2

＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为 A.

5＋1

2

B.2＋1

( )．

3

C．3＋1

2 2＋1D.2

解析 依题意，得F(p,0)，因为AF⊥x轴，设A(p，y)，y>0，y2＝4p2，所以p24p2

y＝2p.所以A(p,2p)．又点A在双曲线上，所以a2－b2＝1.又因为c＝p，所以c24c2?c?4?c?242242

????－＝1，化简，得c－6ac＋a＝0，即－6＋1＝0.所以e＝3222ac－a?a??a?＋22，e＝2＋1. 答案 B 二、填空题

11．(2014·兰州一模)已知抛物线x2＝4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是________．

2

解析 由抛物线定义知，yP＋1＝5，即yP＝4，所以有xP＝16，解得xP＝±4.

答案 ±4

π12．(2013·上海卷)设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝4.若AB＝4，BC＝2，则Γ的两个焦点之间的距离为________．

解析 设D在AB上，且CD⊥AB，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝45°，所以有1CD＝1，DB＝1，AD＝3，所以有C(1,1)，把C(1,1)代入椭圆的标准方程得a2＋184222242

2＝1，a＝b＋c且2a＝4，解得，b＝，c＝，则2c＝ 6. b3334答案 3 6

13．(2013·安徽卷)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________． 解析 以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a. ?y＝x2，由?2得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0， 2

?x＋?y－a?＝a，?a>0，

即(y－a)[y－(a－1)]＝0.由已知?解得a≥1.

a－1≥0，?答案 [1，＋∞)

4