【创新设计】2021届高考数学(北师大版)一轮训练：第8篇 能力提升练——解析几何

2??2

同理，点N?k2＋m，k?，

?22?k1k2

∴kMN＝＝kk.

k1＋k212∴直线MN的方程为

2??2??

y－k＝k1k2?x－?k2＋m??，即y＝k1k2(x－m)＋2，

??1??1∴直线MN恒过定点(m,2)．

18．(2013·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦2

点在x轴上，短轴长为2，离心率为2. (1)求椭圆C的方程；

6

(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为4的任意两点，E为线段AB的中→＝tOE→，求实数t的值．

点，射线OE交椭圆C于点P.设OP

x2y2

解 (1)设椭圆C的方程为：a2＋b2＝1(a>b>0)，

??c2

由题意知?＝，a2??2b＝2，

＝1.

a2＝b2＋c2，

x22

解得a＝2，b＝1，因此椭圆C的方程为2＋y

(2)(ⅰ)当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为x＝m，由题意得－2

x22

将x＝m代入椭圆方程2＋y＝1，得|y|＝所以S△AOB＝|m|31

解得m2＝2或2. 2－m26

＝24.

①

2－m2

2，

→＝tOE→＝1t(OA→＋OB→)＝1t(2m,0)＝(mt,0)， 又OP

22?mt?2

因为P为椭圆C上一点，所以2＝1.

②

9

由①②，得t2＝4或4

3. 又因为t>0，所以t＝2或23

3. (ⅱ)当A，B两点关于x轴不对称时，设直线AB的方程为y＝kx＋h， 将其代入椭圆的方程x22＋y2

＝1，得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由判别式Δ＞0可得1＋2k2＞h2， 此时x4kh

2h2－21＋x2＝－1＋2k2，x1x2＝1＋2k2，

y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝

2h

1＋2k2

. 所以|AB|＝1＋k2?x1＋x2?2－4x1x2 ＝221＋k

2

1＋2k2－h2

1＋2k2

.

因为点O到直线AB的距离d＝|h|

1＋k

2

. 所以S1

△AOB＝2|AB|d

＝11＋2k2－h2|h2×221＋k2

|1＋2k21＋k2. 21＋2k2－h2＝1＋2k2|h|.

又S6

△AOB＝4，

所以21＋2k2－h21＋2k2

|h|＝6

4.

③

令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0. 解得n＝4h2或4

3h2，

即1＋2k2

＝4h2

或1＋2k2

＝43h2

.

④

又OP→＝tOE→＝1→→12khtht1＋x2， y1＋y2)＝?2t(OA＋OB)＝2t(x??－1＋2k2，?1＋2k2??

.

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因为P为椭圆C上一点， 所以t2??1??2??

－

2kh?1＋2k2?2?h?2?＋??1＋2k2??

???

＝1， 即h21＋2k2

t2

＝1.⑤ 将④代入⑤得t2＝4或4

3， 又知t＞0，故t＝2或23

3， 经检验，适合题意． 综合(ⅰ)(ⅱ)得t＝2或 233

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