中学数学教师招聘考试专业知识复习 

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?①i. 焦点在x轴上：

顶点：(a,0),(?a,0) 焦点：(c,0),(?c,0)

x2y2xy??0或2?2?0 abab(0,?a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,?c). ii. 焦点在y轴上：顶点：

a2准线方程x??c 渐近线方程：

a2y??准线方程：

c.

x?asec?y2x2yx渐近线方程：??0或2?2?0，参数方程：??abab?y?btan?或??x?btan??y?asec? .

②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率

ce?a2. ④准线距

222a2c（两准线的距离）；通径

2b2ax2a2. ⑤参数关系

?y2b2cc?a?b,e?a. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程?1（F1,F2分

别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则：

MF1?ex0?aMF2?ex0?a 构成满足MF1?MF2?2a

M?F1??ex0?aM?F2??ex0?a（与椭圆焦半径不同，

椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

MF1?ey0?aMF2?ey0?a?M?F1??ey0?a?M?F2??ey0?aM'F1▲y▲yF1MMxF2M'F2x

?等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为

y??x，离心率e?2.

?共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，

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叫做已知双曲线的共轭双曲线.线，它们具有共同的渐近线：?共渐近线的双曲线系方程：如果双曲线的渐近线为

xa22x2y2???a2b2?y2b2与

x2y2????互为共轭双曲a2b2x2a2?0.

??(??0)的渐近线方程为

x2a2?y2yx2a2?y2b22▲b?0xy??0ab时，它的双曲线方程可设为342F1?yb22??(??0).

531F2x例如：若双曲线一条渐近线为y?1x且过p(3,?1)，求双曲线的方程？ 322解：令双曲线的方程为：

x2y21x22??1. ?y??(??0)，代入(3,?)得8224?直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；

区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条； 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“?”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ?若P在双曲线

x2a2?y2b2?1，则常用结论

1：P到焦点的距离为m = n，

则P到两准线的距离比为m︰n.

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PF1简证：d1d2?ePF2e =

m. n常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

3. 设p?0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

y??2px xx2?2py y2?2px 22??2py ▲图形 ▲y▲y▲yyxOxOxOxO 焦点 准线 范围 对称轴 顶点

F(?x?p,0) 2F(0,p) 2 F(0,?y?p) 2 F(p,0) 2x??p 2x?0,y?R p 2x?0,y?R p 2x?R,y?0 y??p 2x?R,y?0 x轴 y轴 （0，0） 13

离心率 焦点 2 http://www.kmycedu.cn/ e?1 PF?p?x1 2PF?p?x12 PF?p?y1 2PF?p?y12 4ac?b2b?). 注：①ay?by?c?x顶点(4a2a②y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF?2y?P2.

③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

?x?2pt2?x?2pt④y?2px（或x?2py）的参数方程为?（或?）（t为参数）. 2y?2pty?2pt??22四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.

当0?e?1时，轨迹为椭圆； 当e?1时，轨迹为抛物线； 当e?1时，轨迹为双曲线；

当e?0时，轨迹为圆（e?c，当c?0,a?b时）.

a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.

因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

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注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

定义 椭圆 双曲线 抛物线 1．到两定点F1,F21．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（01） 与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 图形 标 方 准 方程 x2y2??1(a?b>0a2b2x2y2??1(a>0,b>a2b2y2=2px ) ?x?acos??y?bsin? ?(参数?为离心角）0) ?x?asec??y?btan? ?(参数?为离心角）程 参数方程 范围

?x?2pt2?y?2pt(t为参数) ?─a?x?a，─b?y?b |x| ? a，y?R 15

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