第二章 导数与微分
一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式
（1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则
?(x0) . ?(x0)?f?定理1 f?(x0)存在?f?定理2 若y?f(x)在点x0处可导，则y?f(x)在点x0处连续；反之不真. 定理3 函数f(x)在x0处可微?f(x)在x0处可导. 导数与微分的运算法则：设u?u(x),v?v(x)均可导，则
(u?v)??u??v?, d(u?v)?du?dv (uv)??uv??vu?, d(uv)?udv?vdu
uvu??uv?uvdu?udv， d()?(v?0) ()??(v?0)22vvvv（3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法
（3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法 （5）幂指函数微分法
（6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法.
方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式
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高阶导数公式：(ax)(n)?axlnna (a?0) (ex)(n)?ex
(sinkx)(n)?knsin(kx?n???2) (coskx)(n)?kncos(kx?n?2)
(xm)(n)?m(m?1)???(m?n?1)xm?n (xn)(n)?n!
(lnx)(n)?(?1)n?1(n?1)!xn
莱布尼兹公式：
（2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用
(1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析
?例2.1 设f(x)???xK?sin1,x?0 , （K为整数）.?x问： ?0,x?0（1）当K为何值时，f(x)在x?0处不可导；
（2）当K为何值时，f(x)在x?0处可导，但导函数不连续； （3）当K为何值时，f(x)在x?0处导函数连续？ 解 函数f(x)在x=0点的导数：
f(x)?f(0)f(x)?f(0)(x)K?sin1limxx?0?limx=x?0limx?0x
x?0= lim1?发散 ，当 x?0(x)K?1?sinK?1x= ?当K?1 ?0，即 f?(0)???不存在，K?1?0,K?1
当K?1时, f(x)的导函数为：
?K?1f?(x)???Kx?sin1x?xK?2?cos1,x?0
?x?0,x?0
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为使limf?(x)?f?(0)?0，取K?2即可。
x?01?K?x?sin,因此，函数f(x)??x?0,?x?0x?0
当K≤1时，f(x)在x?0处不可导；
当K?2时，f(x)在x?0处可导，但导函数在x?0处不连续； 当K?2时，f(x)在x?0处可导且导函数在x?0处连续。
sin2xcos2xdy?例2.2 y?， 求。
1?ctgx1?tgxdx分析 本例当然可以用商的求导法则来求，但比较麻烦，若先对函数表达式进行变形就可用代数和的求导法则来求，这样就简便多了。
sin3xcos3xsin3x?cos3x1??解 y? = 1?sin2x。
sinx?cosxcosx?sinxsinx?cosx2所以 y???cos2x 。
如果不经过化简，直接求导则计算将是十分繁琐的。
x例2.3 y?arctge?lne2xe2x?1 ，求
dy。 dx分析 本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求，比较麻烦，但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形，再利用差及复合函数求导法来求，就简便得多。 11解 因为 y?arctgex?[lne2x?ln(e2x?1)]?arctgex?x?ln(e2x?1)22
ex?1ex12e2x12x?1??所以 y??(arctge)??x??[ln(e?1)]' =
2e2x?1e2x?1 21?e2xx
例2.4 设y?f(ex)ef(x)，求
dy。 dx82
解 利用积的求导法则及复合函数求导法则，有
dy= f?(ex)exef(x)?f(ex)ef(x)f?(x)= ef(x)[f?(ex)ex?f(ex)f?(x)]。 dx例2.5 设方程 xy2?ey?cos(x?y2), 求 y?.
本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求。
解 (方法一) 方程两端同时对x求导( y看作x的函数y?y(x)),由复合函数求导法可得
y2?2xyy??eyy???sin(x?y2)?(1?2yy?)
y???y2?sin(x?y2)2xy?ey?2ysin(x?y2)
(方法二) 方程两边同时微分：d(xy2?ey)?d(cos(x?y2))
y2dx?2xydy?eydy??sin(x?y2)(dx?2ydy)?
[(2xy?ey?2ysin(x?y2)]dy??[y2?sin(x?y2)]dx
dyy2?sin(x?y2)所以 ??
dx2xy?ey?2ysin(x?y2)
?x?f?(t)d2ydy例2.6 已知? , f(t)为二次可微函数,且 f??(t)?0，求 , 2。
?y?tf(t)?f(t)dxdx?分析 这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题，可按参数方程求导法则来求。 解 因为 dy?d[tf?(t)?f(t)]= tf??(t)dt dx?d[f?(t)]?f??(t)dt
所以
dytf??(t)dt??t 。 dxf??(t)dt又 d(所以
d2ydx2
?=
dy)?dt dxd?dy?dt1? 。 ???dx?dx?f\(t)dtf\(t) 83
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