世纪高中2015-2016学年第一学期第三次质量检测试题
高二数学（理科）试卷
注意事项:
本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分．满分150；考试时间：120分钟.
第Ⅰ卷（共60分）
一、
选择题：本题共12个小题,每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
22
1．“如果x、y∈R，且x＋y＝0，则x、y全为0”的否命题是( )
22
A．若x、y∈R且x＋y≠0，则x、y全不为0
22
B．若x、y∈R且x＋y≠0，则x、y不全为0
22
C．若x、y∈R且x、y全为0，则x＋y＝0
22
D．若x、y∈R且x、y不全为0，则x＋y≠0 2．下列各组向量中能作为一组基底的是（ ）
A．a?(?2,3,5),b?(16,24,40)
B． c?(2,3,0),d?(0,0,0)
C．e?(1,0,0),f?(?3,0,0) D．g?(1,2,?2),h?(?2,?4,4) 3.下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①“x?1”是“x2?3x?2?0”的充分不必要条件
②命题“?x?R，sinx?1”的否定是“?x?R，sinx?1” ③“若am2?bm2，则a?b”的逆命题为真命题
④命题p:?x??1,???，lgx?0，命题q:?x?R，x2?x?1?0，则p?q为真命题
A．0 B．1 C．2 D．3
4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A.
3111 B. C. D. 1051020
5. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 →
6.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有OP＝→→→
xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的( )
A．必要不充分条件 C．充要条件
B．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
7．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
1
A.
21566 B. C. D. 2543
x2y28.设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2, P是C上的点，
abPF2?F1F2,?PF1F2?30?，则C的离心率为( )
A.
3113 B. C. D. 6323
9.抛物线y2?4x的焦点为F,准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）
A．33 B．43 C．63 D．83
x2y210．已知椭圆??1的左、右顶点分别为A1和A2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆
94的两个交点分别为P1和P2，其中P1的纵坐标为正数，则直线A1P1与A2P2的交点M的轨迹
方程 （ ）
x2y2y2x2x2y2y2x2A . C． ??1 B．??1 ??1 D． ??1
94949494x2y211.在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a,b.则方程2?2?1表示焦点在x轴上
ab3且离心率小于的椭圆的概率为( )
21517311A. B. C. D.
323232212. 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，动点M在线段A1B1上，E、F分别为AB,BC的中
点。设异面直线EM与AF所成的角为?，则cos?的最大值为( )
A.
324 B. C. D.1 555第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分
y25
13.双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．
16m4
14.在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，B1C?BC1?O,
x2
D1C1A1B1OD若AO?xAB?yAD?zAA1,则x?y?z等于 AB2
15. 设F为抛物线C：y＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝ .
????Cy2?1的右焦点，P是C左支上一点，A0,66 ，当?APF16.已知F是双曲线C:x?82??周长最小时，该三角形的面积为 ．
2
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如下图所示），其中样本数据分组区间为
[40,50],[50,60],,…,[80,90],[90,100]
（1）求频率分布图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50]的概率. 18．（本小题满分）
设P：实数足
分12x满
x2?4ax?3a2?0，其中 a?0；q：实数x满足x2?x?6?0或x2?2x?8?0。
若?p是?q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19.(本小题满分12分)
2
AB. 2
如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝
(1)证明：BC1∥平面A1CD； (2)求二面角D－A1C－E的正弦值．
20.（本小题满分12分）
3
x2y22如图，椭圆E:2?2?1(a?b?0)经过点A(0,?1)，且离心率为.
ab2(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥E-ABCD中，平面EAD⊥ABCD，CD//AB,BC⊥CD, EA⊥ED．且AB=4，BC =CD
=EA=ED=2
（1）求证：BD⊥平面ADE；
（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值；
（3）在线段CE上是否存在一点F，使得平面BDF上平面CDE？如果存在点F，请指出点F的位置；如果不存在，请说明理由．
22. （本小题满分12分）
aby2x2 以椭圆C:2?2?1(a?b?0)的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的
2ab“伴随”，已知椭圆C的离心率为31，且过点(,3)。 22（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；
（2）过点P(0,m)作“伴随”的切线l交椭圆C于A,B两点，记?AOB(O为坐标原点)的面积为S?AOB，求S?AOB的最大值。
4
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