2015清华大学自主招生
一、选择题 1.设复数z=cos
2211?+isin?，则?=（ ）
1-z1?z23313(A)0 (B)1 (C) (D)
222.设数列{an}为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“p+q>k+l”是“ap?aq?ak?al”的( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A、B是抛物线y=x上两点，O是坐标原点，若OA⊥OB,则( )
2(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22 (C)直线AB过抛物线y=x的焦点 (D)O到直线AB的距离小于等于1
24.设函数f(x)的定义域为(-1,1)，且满足：①f(x)>0,x∈(-1,0)；②f(x)+f(y)=f(x?y)，x、y∈1?xy(-1,1)，则f(x)为
(A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数
5.如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f(x)?kx有（ ）
(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC的三边分别为a、b、c．若c=2，∠C=
?，且sinC+sin(B?A)?2sin2A=0,则有（ ） 32323(D)△ABC的外接圆半径为 33(A)b=2a (B)△ABC的周长为2+23 (C)△ABC的面积为7.设函数f(x)?(x?3)e，则（ ）
2x(A)f(x)有极小值，但无最小值 (B) f(x)有极大值，但无最大值 (C)若方程f(x)=b恰有一个实根，则b>
66f(x) (D)若方程=b恰有三个不同实根，则0 e3e3第 1 页 共 9 页 2015清华大学自主招生 8.已知A={(x,y)∣x2?y2?r2}，B={(x,y)∣(x?a)2?(y?b)2?r2，已知A∩B={(x1,y1),(x2,y2)}，则（ ） (A)0 9.已知非负实数x,y,z满足4x2?4y2?z2+2z=3，则5x+4y+3z的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 10.设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则（ ） （A）{an}可能为等差数列 （B）{an}可能为等比数列 （C）{an}的任意一项均可写成{an}的两项之差(D)对任意正整数n，总存在正整数m，使得an=Sm 11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁 12.长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，则A到平面A1BD的距离为（ ） 22222(A) 1226 (B) (C) (D) 332313.设不等式组??|x|?|y|?2所表示的区域为D，其面积为S，则（ ） ?y?2?k(x?1)1，则k的值有2个 2(A)若S=4，则k的值唯一 (B)若S=(C)若D为三角形，则0 2 (D)若D为五边形，则k>4 314.△ABC的三边长是2,3,4，其外心为O，则OA?AB?OB?BC?OC?CA=（ ） (A)0 (B)?15 (C)?2129 (D)? 2215.设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5，P(A?B)=0.2，则（ ） (A)P(A)=0.4 (B)P(B?A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.9 16.过△ABC的重心作直线将△ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） (A)最小值为 3445 (B)最小值为 (C)最大值为 (D最大值为 453417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ） (A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种 18.已知存在实数r，使得圆周x?y?r上恰好有n个整点，则n可以等于（ ） 第 2 页 共 9 页 2222015清华大学自主招生 (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z满足2|z|≤|z?1|，则（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为 121 (C)z的虚部的最大值为 (D)z的实部的最大值为 33320.设m,n是大于零的实数，a=(mcosα,msinα)，b=(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量a=(mcos（ ） (A)a·a=a (B)a?b=mncos21.设数列{an}满足：a1=6，an?1?1212121212?2,msin?2),b=(ncos12?2,nsin?2)，记θ=α?β，则 ?2 (C)|a?b|?4mnsin121222?4 (D)|a?b|?4mncos121222?4 n?3an，则（ ） n(A)?n∈N?,an<(n?1)3 (B)?n∈N?,an≠2015 (C)?n∈N?,an为完全平方数 (D)?n∈N?, an为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ） 1111 （B）ρ= （C）ρ= （D）ρ= cos??sin?2?sin?2?cos?1?2sin?sin?x23.设函数f(x)?2，则（ ） x?x?14（A）f(x)≤ (B)|f(x)|≤5|x| (C)曲线y=f(x)存在对称轴 (D)曲线y=f(x)存在对称中心 3（A）ρ= 24.△ABC的三边分别为a,b,c，若△ABC为锐角三角形，则（ ） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)a?b?c (D)a?b?c 25.设函数f(x)的定义域是(?1,1)，若f(0)=f?(0)=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)f(x)>0，x∈(?δ,δ) (B)f(x)在(?δ,δ)上单调递增 (C)f(x)>1，x∈(0,δ) (D)f(x)>1，x∈(?δ,0) 26.在直角坐标系中，已知A(?1,0)，B(1,0)．若对于y轴上的任意n个不同的点Pk(k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点Pi,Pj，使得|sin∠APiB?sin∠APjB|≤(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 2227.设非负实数x,y满足2x+y=1，则x+x?y的（ ） 2223331，则n的最小值为（ ） 3(A)最小值为 421?2 (B)最小值为 (C)最大值为1 (D)最大值为 553第 3 页 共 9 页 2015清华大学自主招生 28.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ） (A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多 (C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个 29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ） (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个 30.设曲线L的方程为y4?(2x2?2)y2?(x4?2x2)=0，则（ ） (A)L是轴对称图形 (B)L是中心对称图形 (C)L?{(x,y)∣x2?y2≤1} (D)L?{(x,y)∣?≤y≤##Answer## 121} 222cos??isin?111zz1z133 ???1.【解析】 ===?222221-z1?z1-zzz?z1-zz?z1-cos??isin??2isin?33322cos(??)?isin(??)133 =- 2sin2= ?333cos0?isin0?i?2sin?cos?2sin[cos(?)?isin(?)]366=????isin)22177[cos(??)?isin(??)] -6633(cos??1??31(cos?isin??i)=1，选B 662232.【简解】 ap?aq?(ak?al)=[(p+q)-(k+l)]d，与公差d的符号有关，选D 3.【解析】设A(x1,x12),B(x2,x22),OA?OB=x1x2(1?x1x2)=0?x2??1 x1答案(A),|OA|?|OB|= x12(1?x12)11112(1?)1?x??12?2|x|?=≥=2，正确；答案11x12x12x12|x1|1x22?x12(B),|OA|+|OB|≥2|OA|?|OB|≥22,正确；答案(C),直线AB的斜率为=x2?x1=x1? 方 x1x2?x1程为y-x12=(x1?111)(x-x1),焦点(0,)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB：(x1?)x-y+1=0 4x1x1的距离d=1≤1，正确。选ABD 1(x1?)2?1x1第 4 页 共 9 页
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