§1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
学习目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性(重点、难点).2.了解元素与集合间的“从属关系”(重点).3.记住常用数集的表示符号并会应用．
预习教材P2，完成下面问题： 知识点1 元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． (4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)漂亮的花可以组成集合．( )
(2)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素．( ) (3)元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相等的．( ) 提示 (1)× “漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合．
(2)× 由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素． (3)× 集合中的元素具有无序性，所以元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是同一集合． 知识点2 元素与集合的关系 关系 属于 不属于 概念 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A 记法 a∈A a?A 读法 a属于集合A a不属于集合A 【预习评价】 思考 设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A有什么关系？
如何用数学语言表示？
提示 3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4?A.
知识点3 常用数集及表示符号
数集 符号 【预习评价】 (1)若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( ) A．3.14 7
C．
8
B．－2 D．7 非负整数集 (自然数集) N 正整数集 N*或N＋ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R (2)若2 解析 (1)由选项知7是实数，但不是有理数，故选D． (2)大于2且小于10的整数为2和3，故x＝2或3. 答案 (1)D (2)2或3 题型一 集合的判定问题 【例1】 下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； (2)不超过20的非负数； (3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4)3的近似值的全体． 解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值”不能构成集合． 规律方法 判断一组对象能否构成集合的依据 【训练1】 给出下列说法： ①中国所有的直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； ③正偶数的全体可以构成一个集合； ④大于2 011且小于2 017的所有整数不能构成集合． 其中正确的有________(填序号)． 解析 ②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，故④错误． 答案 ①③ 题型二 元素与集合的关系 1 【例2】 (1)给出下列关系：①∈R；②2?Q；③|－3|?N；④|－3|∈Q；⑤0?N.其 2中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 6 (2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． 3－x解析 (1)①②正确；③④⑤不正确． (2)∵ 666∈N，x∈N，∴当x＝0时，＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时，3－x3－x3－x 66 ＝3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时，＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x>3时，<0 3－x3－x不满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2. 答案 (1)B (2)0,1,2 规律方法 判断元素与集合关系的两个关键点 判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征． 【训练2】 设集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，则下列关系中正确的是( ) A．a∈M B．a?M C．a＝M D．a≠M 解析 判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵11<23，∴a?M. 答案 B 典例迁移 题型三 集合中元素的特性 【例3】 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值． 解 因为－3是集合A中的元素， 所以－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0， 此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求； 若－3＝2a－1，则a＝－1， 此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求． 综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. 【迁移1】 (变换条件)若把本例中的条件“－3是集合A中的元素”去掉，求a的取值范围． 解 由集合元素的互异性知a－3≠2a－1，解得a≠－2，故实数a的取值范围是a≠－2. 【迁移2】 (变换条件)若本例中的集合A含有两个元素1和a2，且a∈A，则实数a的值是什么？ 解 由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1；当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知a＝0. 规律方法 利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对集合中的元素进行检验． (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 课堂达标 1．下列能构成集合的是( ) A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．上海市所有的中学生 D．香港的高楼 解析 A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合． 答案 C 2．由形如x＝3k＋1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是( ) A．－1∈A B．－11∈A 解析 －11＝3×(－4)＋1，故选B． 答案 B 3．下列三个命题： ①集合N中最小的数是1； ②－a?N，则a∈N； C．15 D．32 ③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2. 其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 3 解析 根据自然数的特点，显然①③不正确．②中若a＝，则－a?N且a?N，显然② 2不正确． 答案 A 4．已知集合A中的元素x满足x≥2，若a?A，则实数a的取值范围是________． 解析 由题意a不满足不等式x≥2，即a<2. 答案 a<2 5．若集合A是由所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成，判断－6＋22是不是集合A中的元素？ 解 因为－2∈Z且2∈Z，所以－6＋22是形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数，即－6＋22是集合A中的元素． 课堂小结 1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合． 2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A. 3．集合中元素的三个特性 (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合． (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． (3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个特性通常用来判断两个集合的关系． 第2课时 集合的表示 学习目标 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法(重点).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合(难点)． 预习教材P3－P5，完成下面问题： 知识点 集合的表示方法 (1)列举法： ①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法； ②形式：A＝{a1，a2，a3，…，an}． (2)描述法： ①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法； ②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 【预习评价】 (1)集合{x∈N*|x－4<2}的另一种表示形式是( ) A．{0,1,2,3,4} C．{1,2,3,4} B．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5} (2)方程x2－1＝8的解集用列举法表示为________． 解析 (1)由x－4<2得x<6，又x∈N*，故x的值为1,2,3,4,5，用列举法表示为{1,2,3,4,5}． (2)由x2－1＝8得x2＝9，即x＝±3，故其解集用列举法表示为{－3,3}． 答案 (1)D (2){－3,3} 题型一 用列举法表示集合 【例1】 用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)不大于10的正偶数集； ??2x＋y＋6＝0，(3)方程组?的解集． ?x－y＋3＝0? 解 (1)因为15的正约数为1,3,5,15， 所以所求集合可表示为{1,3,5,15}． (2)因为不大于10的正偶数有2,4,6,8,10， 所以所求集合可表示为{2,4,6,8,10}． ???2x＋y＋6＝0，?x＝－3，?(3)解方程组得? ?x－y＋3＝0，???y＝0. 所以所求集合可表示为{(－3,0)}． 规律方法 用列举法表示集合的三个注意点 (1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性． (2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便． (3)搞清集合是有限集还是无限集是选择恰当的表示方法的关键． 【训练1】 用列举法表示下列集合： (1)绝对值小于5的偶数； (2)24与36的公约数； ??x＋y＝2， (3)方程组?的解集． ?2x－y＝1? 解 (1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集． (2){1,2,3,4,6,12}，是有限集． ???x＋y＝2，?x＝1，?(3)由得? ?2x－y＝1，???y＝1. ????x＋y＝2，?x＋y＝2，?x＝1，∴方程组?的解集为{(x，y)|?}＝{(x，y)|?}＝{(1,1)}，是 ?2x－y＝1?2x－y＝1?y＝1??? 有限集. 典例迁移 题型二 用描述法表示集合 【例2】 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 解 (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}． (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}． (3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． 【迁移1】 (变换条件)例2(3)改为“用描述法表示平面直角坐标系中位于第二象限的点的集合．” 解 位于第二象限的点(x，y)的横坐标为负，纵坐标为正， 即x<0，y>0，故第二象限的点的集合为{(x，y)|x<0，y>0}． 【迁移2】 (变换条件)例2(3)改为“用描述法表示图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合．” 解 本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言．用描述法表示(即 31 用符号语言表示)为{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，且xy≥0}． 22 规律方法 用描述法表示集合的注意点 (1)“竖线”前面的x∈R可简记为x； (2)“竖线”不可省略； (3)p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示； (4)同一集合用描述法表示可以不唯一． 题型三 集合表示方法的综合应用 8?? 【例3】 (1)用列举法表示集合A＝?x|x∈Z，且6－x∈N?＝________. ? ? (2)集合A＝{x∈kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A. (1)解析 ∵x∈Z且 8 ∈N，∴1≤6－x≤8，－2≤x≤5.当x＝－2时，1∈N；当x＝6－x 8488 －1时，?N；当x＝0时，?N；当x＝1时，?N；当x＝2时，2∈N；当x＝3时，?N； 7353当x＝4时，4∈N；当x＝5时，8∈N.综上可知A＝{－2,2,4,5}． 答案 {－2,2,4,5} (2)解 ①当k＝0时，原方程为16－8x＝0. ∴x＝2，此时A＝{2}； ②当k≠0时， ∵集合A中只有一个元素， ∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根． ∴Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 从而x1＝x2＝4，∴A＝{4}． 综上可知，实数k的值为0或1. 当k＝0时，A＝{2}； 当k＝1时，A＝{4}． 规律方法 1.识别集合的两个步骤： 一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集； 二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)． 2．方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数 在涉及ax2＋bx＋c＝0的根的集合中，要讨论二次项的系数a是否为0，当a＝0时，方程为bx＋c＝0是一次方程，再分b是否为0两种情况讨论其根的个数；当a≠0时，方程ax2＋bx＋c＝0为二次方程，结合判别式的符号判定其根的个数． 【训练2】 用列举法表示下列集合． (1)A＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}； (2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}． 解 (1)因为y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N， 所以x＝0,1,2时，y＝6,5,2，符合题意， 所以A＝{2,5,6}． (2)(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N， ??x＝0，则应有? ??y＝6， ??x＝1， ???y＝5， ??x＝2， ? ?y＝2，? 所以B＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}． 课堂达标 1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( ) A．{1,1} B．{1} C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0} 解析 集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}．故选B． 答案 B 2．下列各组集合中，表示同一集合的是( ) A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)} B．M＝{3,2}，N＝{2,3} C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{3,2}，N＝{(3,2)} 解析 由于集合中的元素具有无序性，故{3,2}＝{2,3}． 答案 B 3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,9}，x∈A，且x?B，则x＝( ) A．1 B．2 C．3 D．9 解析 比较A和B中的元素可知x＝2. 答案 B 4．大于3并且小于10的整数的集合用描述法表示为________． 解析 设该数为x，由题意得3 5．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于3的整数组成的集合； (2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y＝x＋6图象上所有点组成的集合． 解 (1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，则用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}． 5?5? (2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是，－2，用列举法表示为?3，－2?. 3??(3)一次函数y＝x＋6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}． 课堂小结 1．集合表示的要求： (1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则； (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合． 2．在用描述法表示集合时应注意： (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式； (2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． 1.1.2 集合间的基本关系 学习目标 1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，并能正确判断(重点).2.了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系(难点).3.了解空集的含义及其性质(易错点)． 预习教材P6－P7，完成下面问题： 知识点1 子集的相关概念 (1)Venn图 ①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法． ②适用范围：元素个数较少的集合． ③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部． (2)子集、真子集、集合相等的概念 ①子集的概念 文字语言 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的符号语言 A?B(或 B?A) 图形语言 子集 ②集合相等 如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B. ③真子集的概念 真子集 ④空集 定义：不含任何元素的集合叫做空集． 用符号表示为：?. 规定：空集是任何集合的子集． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1?{1,2,3}．( ) (2)任何集合都有子集和真子集．( ) (3)?和{?}表示的意义相同．( ) 提示 (1)× “?”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系． (2)× 空集只有子集，没有真子集． (3)× ?是不含任何元素的集合，而{?}集合中含有一个元素?. 知识点2 集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A. (2)对于集合A，B，C， ①若A?B，且B?C，则A?C； ②若AB，BC，则AC. ③若A?B，A≠B，则AB. 【预习评价】 若{1,2}?B?{1,2,4}，则B＝________. 解析 由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1,2}，{1,2,4}． 答案 {1,2}或{1,2,4} 题型一 集合关系的判断 【例1】 指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； 定义 如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，称集合A是集合B的真子集 符号表示 AB(或BA) 图形表示 (3)A＝{x|－1 (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解析 (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N规律方法 判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． ?x－3? ＝0?，【训练1】 (1)集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝?x则A与B的关系是( ) ?x＋2? M. A．A?B B．A＝B C．AB D．BA (2)已知集合A＝{x|x<－2或x>0}，B＝{x|0 C．BA D．A?B 解析 (1)∵A＝{－2,3}，B＝{3}，∴BA. (2)在数轴上分别画出集合A，B，如图所示，由数轴知BA. 答案 (1)D (2)C 题型二 子集、真子集个数问题 【例2】 (1)集合{a，b，c}的所有子集为________，其中它的真子集有________个． (2)写出满足{3,4}P?{0,1,2,3,4}的所有集合P. (1)解析 集合{a，b，c}的子集有：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个． 答案 ?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 7 (2)解 由题意知，集合P中一定含有元素3,4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}． 规律方法 1.假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数有2n个； (2)A的非空子集的个数有2n－1个； (3)A的真子集的个数有2n－1个； (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 2．求给定集合的子集的两个注意点： (1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写； (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身． 【训练2】 已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集． 解 ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． ∴A的子集有：?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}. 互动探究 题型三 由集合间的包含关系求参数 【探究1】 设集合A＝{a，b}，且B?A，求B. 解 B是A的子集，则B可能是?，{a}，{b}，{a，b}． 【探究2】 下列命题正确的是( ) A．A?? B．??A C．A ? D．?A 解析 由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选B． 答案 B 【探究3】 设集合A＝{x|ax＋1＝0}，B＝{x|ax2＋x＋1＝0}，C＝{x|a＋1 解 集合A，B，C都可能是空集．当a＝0时，集合A是空集，当Δ＝1－4a<0，且a≠0，1 即a>时，集合B是空集；当a＋1≥2a，即a≤1时，集合C是空集． 4 【探究4】 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1 解 ∵B?A， (1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. －3≤2m－1，?? (2)当B≠?时，有?m＋1≤4， ??2m－1 规律方法 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点：①不能忽视集合为?的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． (2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 解得－1≤m<2， 【训练3】 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求a的取值范围； (2)若B?A，求a的取值范围． 解 (1)若AB，由图可知a>2. (2)若B?A，由图可知1≤a≤2. 课堂达标 1．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中，含有元素0的子集共有( ) A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 解析 根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}, 四个；故选B． 答案 B 2．已知集合M＝{x|－5 C．R＝{y|－π B．Q＝{－1,0,1,2} D．S＝{x||x|≤3，x∈Z} 解析 集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3?M，集合Q中的元素2?M，集合R中的元素－3?M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S?M.故选D． 答案 D 3．①0∈{0}，②?个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 {0}，③{0,1}＝{(0,1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}，上面关系中正确的 解析 ①正确，0是集合{0}的元素；②正确，?是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含有两个元素0,1；{(0,1)}含有一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含有一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含有一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等；∴正确的个数是2.故选B． 答案 B 4．设集合A＝{x|1 B．{a|a≤1} D．{a|a≥2} 答案 D 5．已知M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值． 解 因为M＝N，则(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1，或a＝3. 当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N； 当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去． 故实数a的值为1. 课堂小结 1．对子集、真子集有关概念的理解 (1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法． (2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素． (3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A. 2．集合子集的个数 求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集． 3．涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用． 1.1.3 集合的基本运算 第1课时 并集、交集 学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集(重点).2.能使用Venn图表示集合的并集、交集运算结果(难点).3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算(重点)． 预习教材P8－P9，完成下面问题： 知识点1 并集 (1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集． (2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． (3)图形语言：如图所示． 【预习评价】 (1)已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于( ) A．{x|x≥－1} C．{x|0 B．{x|x≤2} D．{x|－1≤x≤2} (2)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________． 解析 (1)A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1≤x≤2}＝{x|x≥－1}． (2)A∪B＝{1,2,3}∪{2,4,5}＝{1,2,3,4,5}，共5个元素． 答案 (1)A (2)5 知识点2 交集 (1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集． (2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}． (3)图形语言：如图所示． 【预习评价】 (1)若集合M＝{－1,1}，N＝{－2,1,0}，则M∩N＝( ) A．{0，－1} B．{1} C．{0} D．{－1,1} (2)若P＝{x|x≥1}，Q＝{x|－1 答案 (1)B (2){x|1≤x<4} 题型一 并集的概念及简单应用 【例1】 (1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于( ) A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8} C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8} (2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( ) A．{x|－1≤x＜3} C．{x|x≤4} B．{x|－1≤x≤4} D．{x|x≥－1} 解析 (1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}． (2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}． 答案 (1)A (2)C 规律方法 求集合并集的两种方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到． 【训练1】 已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝( ) A．{0} B．{0,3} C．{1,3,9} D．{0,1,3,9} 解析 易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}． 答案 D 题型二 交集的概念及简单应用 【例2】 (1)A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( ) A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3} (2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝( ) A．{x|0≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} B．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤4} 解析 (1)易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A． (2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示． 则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}． 答案 (1)A (2)A 规律方法 求集合A∩B的常见类型 (1)若A，B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集． (2)若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集． (3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有 端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示． 【训练2】 (1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝( ) A．x＝3，y＝－1 C．{3，－1} B．(3，－1) D．{(3，－1)} 解析 (1)8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，故A∩B＝{8,14}，故选D． ???x＋y＝2，?x＝3，?(2)由得?故M∩N＝{(3，－1)}． ?x－y＝4，???y＝－1， 答案 (1)D (2)D 互动探究 题型三 并集、交集的运算性质及应用 【探究1】 设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，由此可分别得到集合A与B具有怎样的关系？ 解 A∩B＝A?A∪B＝B?A?B，即A∩B＝A，A∪B＝B，A?B三者为等价关系． 【探究2】 若集合＝{x|x2＋2x－a＝0}＝?，求a的取值范围． 解 由题意知方程x2＋2x－a＝0无实根，故Δ＝4＋4a<0，解得a<－1. 【探究3】 设集合A＝{1,2}，若B?A，求B. 解 B＝?或{1}或{2}或{1,2}． 【探究4】 设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}． (1)若A∩B＝{2}，求实数a的值； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 解 (1)由题可知：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将2带入集合B中得：4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，解得：a＝－5或a＝1. 当a＝－5时，集合B＝{2,10}符合题意； 当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意． 综上所述：a＝－5或a＝1. (2)若A∪B＝A，则B?A，∵A＝{1,2}，∴B＝?或B＝{1}或{2}或{1,2}． 若B＝?，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a<0，解得a>3； Δ＝24－8a＝0，????a＝3， ?若B＝{1}，则?即不成立； 2?a－1? ?a＝0，???x＝－2＝1－a＝1， Δ＝24－8a＝0，??a＝3，?? ?若B＝{2}，则?即不成立； 2?a－1? ?a＝－1，???x＝－2＝1－a＝2， Δ＝24－8a>0，?? 若B＝{1,2}，则?1＋2＝－2?a－1?， ??1×2＝a2－5， a<3， ??1即?a＝－2，??a＝±7， 此时不成立，综上a>3. 规律方法 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点 (1)依据：A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A. (2)关注点：当集合A?B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝?的情况，否则易漏解． 【训练3】 已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝?，求实数a的取值范围． 解 由A∩B＝?， (1)若A＝?，有2a＞a＋3，∴a＞3. (2)若A≠?，如下图： 2a≥－1，??1 ∴?a＋3≤5，解得－≤a≤2. 2 ??2a≤a＋3， 1 综上所述，a的取值范围是{a|－≤a≤2或a＞3}． 2 课堂达标 1．设集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则A∩B＝( ) A．{2,3} B．{0,1} C．{0,1,4} D．{0,1,2,3,4} 解析 因为集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，所以A∩B＝{2,3}，故选A． 答案 A 2．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2 B．{x|－1≤x≤5} D．{x|－1 解析 ∵集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2 3．已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．8 解析 由M∪N＝{－1,0,1}，得到集合M?M∪N，且集合N?M∪N，又M＝{0，－1}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0,1}或{－1,1}或{0，－1,1}，共4个．故选C． 答案 C 4．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则( ) A．a＝3，b＝2 C．a＝－3，b＝－2 B．a＝2，b＝3 D．a＝－2，b＝－3 ??5＝2a＋1，解析 ∵A∩B＝{(2,5)}，∴?解得a＝2，b＝3，故选B． ?5＝2＋b，? 答案 B 5．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2 解 (1)由集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2 得到A∪B＝{x|2 (2)由集合B＝{x|2 则C∩B＝{x|2 课堂小结 1．对并集、交集概念的理解 (1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合． (2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?. 2．集合的交、并运算中的注意事项 (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性． (2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否． 第2课时 补集及综合应用 学习目标 1.理解全集、补集的概念(难点).2.准确翻译和使用补集符号和Venn图(重点).3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题(重点)． 预习教材P10－P11，完成下面问题： 知识点 补集的概念 (1)全集： ①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． ②记法：全集通常记作U. (2)补集 文字语言 符号语言 图形语言 【预习评价】 (1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则?U(A∪B)＝________. (2)已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若?AB＝{5}，则实数m＝________. 解析 (1)∵A∪B＝{1,2,3,4}， ∴?U(A∪B)＝{5}． (2)由?AB＝{5}知5∈A且5?B， 即5∈{3,4，m}， 故m＝5. 答案 (1){5} (2)5 题型一 补集的基本运算 【例1】 (1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<0}，则?UM＝( ) A．{x|0≤x≤2} C．{x|x<0或x>2} B．{x|0 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?UA ?UA＝{x|x∈U且x?A} (2)已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a＝________. 解析 (1)如图，在数轴上表示出集合M，可知?UM＝{x|0≤x≤2}． ??a＝2， (2)由题意可知?2解得a＝2. ?a－2a＋3＝3，? 答案 (1)A (2)2 规律方法 求补集的方法 (1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合． (2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合． 【训练1】 (1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3 (2)∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3. 答案 (1){x|x＝－3或x>4} (2)－3 题型二 集合交、并、补的综合运算 【例2】 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2 解 利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出?UA及?UB，再求解． 则?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ?UB＝{x|x<－3，或2 规律方法 1.求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到． 2．求解集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分． 【训练2】 已知集合S＝{x|1 A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}， ?SA＝{x|1 由此可得：(1)(?SA)∩(?SB)＝{x|1 (3)(?SA)∪(?SB)＝{x|1 互动探究 题型三 根据补集的运算求参数的值或范围 【探究1】 如果a∈?UB，那么元素a与集合B有什么关系？“a∈A∩(?UB)”意味着什么？ 解 如果a∈?UB，那a?B，“a∈A∩(?UB)”意味着a∈A且a?B. 【探究2】 是否存在元素a，使得a∈A且a∈?UA？若集合A＝{x|－2 解 不存在a，使得a∈A且a∈?UA；若A＝{x|－2 (2)已知集合A＝{x|2a－2 ?4＋4a＋12b＝0，?∴?2解得?2－2a＋b＝0，? 2 ? ?12?b＝－7.8a＝，7 812 ∴a，b的值分别为，－. 77 (2)?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?. ∵A?RB， ∴分A＝?和A≠?两种情况讨论． ①若A＝?，此时有2a－2≥a，∴a≥2. ②若A≠?，则有? ?2a－2 ?2a－2 或?∴a≤1. ?2a－2≥2.? 综上所述，a≤1或a≥2. 规律方法 由集合的补集求解参数的方法 (1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解． 【训练3】 设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求实数a的值． 解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A. ∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4. 当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意． 当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}， 不满足条件?UA＝{5}，故a＝－4舍去． 综上知a＝2. 课堂达标 1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?UA＝( ) A．{1,2} B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5} D．? 解析 根据补集的定义计算．∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴?UA＝{3,4,5}． 答案 B 2．设全集U＝R，集合A＝{x|1 C．{x|x≥5} D．{x|1 解析 ?UB＝{x|x<2或x≥5}，A∩(?UB)＝{x|1 3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?RA)∩B＝( ) A．{－2，－1} B．{－2} C．{－1,0,1} D．{0,1} 解析 因为集合A＝{x|x>－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，则(?RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}． 答案 A 4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x 答案 2 5．已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB)． 解 将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示， 则?UA＝{x|－1≤x≤3}； ?UB＝{x|－5≤x<－1，或1≤x≤3}； 法一 (?UA)∩(?UB)＝{x|1≤x≤3}． 法二 ∵A∪B＝{x|－5≤x<1}， ∴(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}． 课堂小结 1．补集定义的理解 (1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集．比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想． (3)从符号角度来看，若x∈U，AU，则x∈A和x∈?UA二者必居其一． 2．与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形． 3．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 4．补集的相关性质 (1)A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?. (2)?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U. (3)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)， ?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)． §1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 学习目标 1.理解函数的概念(重点、难点).2.了解构成函数的三要素(重点).3.正确使用函数、区间符号(易错点)． 预习教材P15－P17，完成下面问题： 知识点1 函数的概念 (1)函数的概念 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，概念 使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 对应关系 三要素 定义域 值域 (2)函数相等 y＝f(x)，x∈A x的取值范围 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( ) (2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( ) (3)在函数的定义中，集合B是函数的值域．( ) 提示 (1)× 函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1； (2)× 根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应； (3)× 在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集． 知识点2 区间及有关概念 (1)一般区间的表示． 设a，b∈R，且a 定义 {x|a≤x≤b} {x|a 题型一 函数关系的判定 【例1】 (1)下列图形中，不能确定y是x的函数的是( ) (2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？ ①f：把x对应到3x＋1；②g：把x对应到|x|＋1； 1 ③h：把x对应到；④r：把x对应到x. x (1)解析 任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系． 答案 D (2)解 ①是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是：把x乘3再加1，对于任意x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x＝－1时，有3x＋1＝－2与之对应． 同理，②也是实数集R上的一个函数． 1 ③不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，的值不存在． x④不是实数集R上的函数．因为当x<0时，x的值不存在． 规律方法 1.根据图形判断对应是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l； (2)在定义域内平行移动直线l； (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 2．判断一个对应是否是函数的方法 【训练1】 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析 ①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性．②对，同时满足任意性与唯一性．③错，x＝2时，对应元素y＝3?N，不满足任意性．④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性． 答案 B 题型二 相等函数 【例2】 (1)下列各组函数： x2－x ①f(x)＝，g(x)＝x－1； x②f(x)＝ xx，g(x)＝； xx ③f(x)＝?x＋3?2，g(x)＝x＋3； ④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号)． (2)试判断函数y＝x－1·x＋1与函数y＝?x＋1??x－1?是否相等，并说明理由． (1)解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是同一函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同，故是同一函数． 答案 ⑤ ??x－1≥0， (2)解 不相等．对于函数y＝x－1·x＋1，由?解得x≥1，故定义域为 ?x＋1≥0，? {x|x≥1}，对于函数y＝?x＋1??x－1?，由(x＋1)(x－1)≥0解得x≥1或x≤－1，故定义域为{x|x≥1或x≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是相等函数． 规律方法 判断两个函数为相等函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 【训练2】 判断以下各组函数是否表示同一函数： (1)f(x)＝(x)2；g(x)＝x2. (2)f(x)＝x2－2x－1；g(t)＝t2－2t－1. 解 (1)由于函数f(x)＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，而g(x)＝x2的定义域为{x|x∈R}，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数． (2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数． 题型三 求函数值 1 【例3】 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． 1＋x(1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f[g(3)]的值． 1 解 (1)∵f(x)＝， 1＋x11 ∴f(2)＝＝. 1＋23 又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. (2)∵g(3)＝32＋2＝11， ∴f[g(3)]＝f(11)＝ 11＝. 1＋1112 规律方法 求函数值的方法及关注点 (1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． (2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 【训练3】 已知函数f(x)＝(1)求f(2)；(2)求f[f(1)]． x＋12＋13解 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝. x＋22＋242 ＋1 1＋122?35?(2)f(1)＝＝，f[f(1)]＝f?3?＝＝. 281＋23 ＋23 考查方向 题型四 求函数的定义域 x＋1 . x＋2 方向1 已知函数的解析式求函数的定义域 【例4－1】 求下列函数的定义域： ?x＋1?25－x(1)y＝－1－x；(2)y＝. x＋1|x|－3 ??x＋1≠0， 解 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足? ?1－x≥0.? 解得x≤1，且x≠－1， 即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}． ??5－x≥0， (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足? ?|x|－3≠0，? 解得x≤5，且x≠±3， 即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}． 规律方法 求函数定义域的实质及结果要求 (1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全． (2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式． 方向2 求抽象函数的定义域 【例4－2】 (1)设函数f(x)＝x，则f(x＋1)等于什么？f(x＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，那么函数y＝f(x＋1)的定义域是什么？ 解 (1)f(x＋1)＝x＋1.令x＋1≥0，解得x≥－1，所以f(x＋1)＝x＋1的定义域为[－1，＋∞)． (2)函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，所以令x＋1≥0，解得x≥－1，所以函数y＝f(x＋1)的定义域是[－1，＋∞)． 【例4－3】 若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f有意义的自变量t＝x＋1的范围是什么？函数y＝f(x)的定义域是什么？ 解 这里的“[1,2]”是自变量x的取值范围．因为x∈[1,2]，所以x＋1∈[2,3]，所以使对应关系f有意义的自变量t＝x＋1的范围是[2,3]，所以函数y＝f(x)的定义域是[2,3]． 【例4－4】 (1)已知函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，求函数y＝f(2x－3)的定义域． (2)已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2,3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域． 解 (1)因为函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，即x∈[－2,3]，函数y＝f(2x－3)中2x－3的1 范围与函数y＝f(x)中x的范围相同，所以－2≤2x－3≤3，解得≤x≤3， 2 1? 所以函数y＝f(2x－3)的定义域为??2，3?. (2)因为x∈[－2,3]，所以2x－3∈[－7,3]，即函数y＝f(x)的定义域为[－7,3]， 令－7≤x＋2≤3，解得－9≤x≤1，所以函数y＝f(x＋2)的定义域为[－9,1]． 规律方法 两类抽象函数的定义域的求法 (1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域． (2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求 得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域． 课堂达标 1．下列图象中表示函数图象的是( ) 解析 根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应，而A，B，D都是一对多，只有C是多对一．故选C． 答案 C 2．下列各组函数中表示同一函数的是( ) A．f(x)＝x与g(x)＝(x)2 B．f(x)＝|x|与g(x)＝x(x>0) C．f(x)＝2x－1与g(x)＝2x＋1(x∈N*) x2－1 D．f(x)＝与g(x)＝x＋1(x≠1) x－1 解析 选项A，B，C中两个函数的定义域均不相同，故选D． 答案 D 3．函数f(x)＝x－4＋ 1 的定义域是________． x－5 ??x－4≥0，1 解析 ∵函数f(x)＝x－4＋，∴?解得x≥4，且x≠5.∴函数f(x)的定 x－5?x－5≠0，? 义域是[4,5)∪(5，＋∞)． 答案 [4,5)∪(5，＋∞) 4．已知函数f(x)的定义域为(0,2)，则f(x－1)的定义域为________． 解析 由题意知0 5．已知函数f(x)＝x2＋x－1. 1? (1)求f(2)，f??x?； (2)若f(x)＝5，求x的值． 解 (1)f(2)＝22＋2－1＝5， 1?111＋x－xf?＝. 2＋－1＝?x?xxx2(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0， ∴x＝2或x＝－3. 2 课堂小结 1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可． 2．f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示． 1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法 学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法(重点、难点)． 预习教材P19－P20，完成下面问题： 知识点 函数的三种表示方法 表示法 解析法 图象法 列表法 定义 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 用图象表示两个变量之间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．( ) (2)任何一个函数都可以用图象法表示．( ) (3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．( ) 提示 (1)× 如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示； ?1，x∈Q? (2)× 有些函数的是不能画出图象的，如f(x)＝?； ?－1，x∈?Q?R 1 (3)× 反例：f(x)＝的图象就不是连续的曲线． x 题型一 作函数的图象 【例1】 作出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x∈Z)； (2)y＝x2－2x(x∈[0,3))． 解 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示． (2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示． 规律方法 作函数图象的步骤及注意点 (1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象． (2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点． 【训练1】 画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)． 解 (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)． (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)． 题型二 列表法表示函数 【例2】 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出 x f(x) x g(x) 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 1 则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________． 解析 ∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1. f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示： x f(g(x)) g(f(x)) ∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2. 答案 1 2 1 1 3 2 3 1 3 1 3 规律方法 列表法表示函数的相关问题的解法 解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决． 【训练2】 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出 x f(x) x g(x) (1)f[g(1)]＝__________； (2)若g[f(x)]＝2，则x＝__________. 解析 (1)由表知g(1)＝3， ∴f[g(1)]＝f(3)＝1； (2)由表知g(2)＝2，又g[f(x)]＝2，得f(x)＝2， 再由表知x＝1. 答案 (1)1 (2)1 考查方向 方向1 待定系数法求函数解析式 【例3－1】 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，则函数f(x)的解析式为________． (2)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________． 解析 (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，所以 2 ??k＝16，25?解得k＝4，b＝－5或k＝－4，b＝， 3??kb＋b＝－25， 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 3 1 题型三 求函数的解析式 25 所以f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋. 3 (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x. ??2a＝2，故得?解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1. ?a＋b＝0? 25 答案 (1)f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋ (2)f(x)＝x2－x＋1 3方向2 换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式 【例3－2】 (1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)． 解 (1)法一 (换元法)：令t＝x＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二 (配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1. 因为x＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，① ∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.② ∴由①②得3f(x)＝x2－6x， 1 ∴f(x)＝x2－2x. 3 规律方法 求函数解析式的类型及方法 (1)若已知所要求的解析式f(x)的类型，可用待定系数法求解，其步骤为：①设出所求函数含有待定系数的解析式； ②把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)； ③解方程(组)，得到待定系数的值； ④将所求待定系数的值代回所设解析式． (2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法： ①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围． ②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可． (3)方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 课堂达标 1．下列函数y＝f(x)，则f(11)＝( ) x y A．2 0 2．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是( ) A．f(x)＝x2＋6x C．f(x)＝x2＋2x－3 B．f(x)＝x2＋8x＋7 D．f(x)＝x2＋6x－10 解析 法一 设t＝x－1，则x＝t＋1，∵f(x－1)＝x2＋4x－5， ∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x； 法二 ∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)， ∴f(x)＝x2＋6x； ∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A． 答案 A 3．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________. x f(x) 1 3 2 2 3 4 4 1 解析 由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1，故填1. 答案 1 4．已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)的解析式为________． 解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b. 2????a＝4，?∴解得?8?ab＋b＝8，??b＝ a＝2，3 ? ??a＝－2， 或? ?b＝－8.? 8 答案 f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8 35．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)． (1)画出f(x)图象的简图； (2)根据图象写出f(x)的值域． 解 (1)f(x)图象的简图如图所示． (2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，则f(x)的值域是[－1,3]． 课堂小结 1．函数三种表示法的优缺点 2.描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线． 3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等． 第2课时 分段函数及映射 学习目标 1.理解分段函数的定义，并能解决简单的分段函数问题(重点).2.了解映射的概念以及它与函数的联系与区别(难点)． 预习教材P21－P22，完成下面问题： 知识点1 分段函数 分段函数的定义： (1)前提：在函数的定义域内； (2)条件：在自变量x的不同取值范围内，有着不同的对应关系； (3)结论：这样的函数称为分段函数． 【预习评价】 ??2x－3，x≥01??f?1??＝________. 已知函数f(x)＝?，则f?＝________，f?2???2???2x＋3，x<0? 1?1?f?1??＝f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1. 解析 由题意得f?＝2×－3＝－2，f?2???2??2答案 －2 －1 知识点2 映射 映射的定义： 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( ) (2)在映射的定义中，对于集合B中的任意一个元素在集合A中都有一个元素与之对应．( ) (3)按照一定的对应关系，从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是同一个映射．( ) 提示 (1)√ 根据映射的定义，当映射中的集合是非空数集时，该映射就是函数，否则不是函数； (2)× 映射可以是“多对一”，但不可以是“一对多”； (3)× 从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射不是同一个映射． 题型一 映射的概念及应用 【例1】 (1)下列对应是集合A到集合B上的映射的是( ) A．A＝N*，B＝N*，f：x→|x－3| B．A＝N*，B＝{－1,1，－2}，f：x→(－1)x 3 C．A＝Z，B＝Q，f：x→ x D．A＝N*，B＝R，f：x→x的平方根 (2)已知映射f：A→B，在f的作用下，A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)，求： ①A中元素(－1,2)在f作用下与之对应的B中的元素． ②在映射f作用下，B中元素(1,1)对应A中的元素． (1)解析 对于选项A，由于A中的元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值在B中找不到象，所以不是映射；对于选项B，对任意的正整数x，在集合B中有唯一的1或－1与之对应，符合映射的定义；对于选项C,0在f下无意义，所以不是映射；对于选项D，正整数在实数集R中有两个平方根(互为相反数)与之对应，不满足映射的定义，故该对应不是映射． 答案 B (2)解 ①由题意可知当x＝－1，y＝2时，3x－2y＋1＝3×(－1)－2×2＋1＝－6， 4x＋3y－1＝4×(－1)＋3×2－1＝1，故A中元素(－1,2)在f的作用下与之对应的B中的元素是(－6,1)． ②设在映射f作用下，B中元素(1,1)对应A中的元素为(x，y)， ?3x－2y＋1＝1，?则?解之得??4x＋3y－1＝1， ? ?6?y＝17 x＝ 417 46，?. ，即A中的元素为??1717?规律方法 1.判断一个对应是不是映射的两个关键 (1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应． (2)B中的对应元素是不是唯一的． 2．求对应元素的两种类型及处理思路(映射f：A→B) (1)若已知A中的元素a，求B中与之对应的元素b，这时只要将元素a代入对应关系f求解即可． (2)若已知B中的元素b，求A中与之对应的元素a，这时构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个． 【训练1】 下列各个对应中，构成映射的是( ) 解析 对于A，集合M中元素2在集合N中无元素与之对应，对于C，D，均有M中的一个元素与集合N中的两个元素对应，不符合映射的定义，故选B． 答案 B 典例迁移 题型二 分段函数求值问题 x＋1，x≤－2，?? 【例2】 已知函数f(x)＝?3x＋5，－2 ??2x－1，x≥2， ?－5??. 求f(－5)，f(1)，f?f??2?? 5 解 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， 2 ?－5??＝f?－5＋1?＝f?－3?＝3×?－3?＋5＝1. f(1)＝3×1＋5＝8，f?f??2???2??2??2?2 【迁移1】 (变换所求)例2条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值． 解 当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去； 2 当－2 3当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意． 2 综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－或2. 3 【迁移2】 (变换所求)例2的条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围． 解 当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2； 当－2 (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．由分段函数的函数值求自变量的方法 已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 2 ??x＋2，x≤2， 【训练2】 函数f(x)＝?若f(x0)＝8，则x0＝________. ?2x，x>2.?2 解析 当x0≤2时，f(x0)＝x20＋2＝8，即x0＝6， ∴x0＝－6或x0＝6(舍去)． 当x0>2时，f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4. 综上，x0＝－6或x0＝4. 答案 －6或4 题型三 分段函数的图象及应用 【例3】 (1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为________． |x|－x(2)已知函数f(x)＝1＋(－2 2①用分段函数的形式表示函数f(x)； ②画出函数f(x)的图象； ③写出函数f(x)的值域． (1)解析 当0≤x≤1时，f(x)＝－1； 当1 ??k＋b＝－1，则? ?2k＋b＝0，? ??k＝1，解得?此时f(x)＝x－2. ?b＝－2，???－1，0≤x≤1，综上，f(x)＝? ?x－2，1 答案 f(x)＝? ?x－2，1 x－x (2)解 ①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 2－x－x 当－2 2 ??1，0≤x≤2， 所以f(x)＝? ?1－x，－2 ②函数f(x)的图象如图所示． ③由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． 规律方法 1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 (1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型． (2)设函数式：设出函数的解析式． (3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式． (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围． 2．作分段函数图象的注意点 作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点． 2 ??x ?－1≤x≤1?， 【训练3】 已知f(x)＝? ?1 ?x＞1或x＜－1?，? (1)画出f(x)的图象； (2)求f(x)的值域． 解 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]． 课堂达标 1??x2＋1，x<2， 1．已知函数f(x)＝?则f(0)＝( ) ??x－2，x≥2，A．2 B．2 C．1 D．0 1 解析 因为0∈(－∞，2)，所以f(0)＝2＝1. 0＋1答案 C 2．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是( ) 2??x，x≥0， 解析 y＝?2故选D． ?－x，x<0，? 答案 D 3．如图中所示的对应： 其中构成映射的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析 由映射的定义知①②③是映射． 答案 A ??－x，x≤0 4．设函数f(x)＝?2，若f(a)＝4，则实数a＝________. ?x，x>0? 解析 当a≤0时，f(a)＝－a＝4，即a＝－4；当a>0时，f(a)＝a2＝4，a＝2(a＝－2舍去)，故a＝－4或a＝2. 答案 －4或2 －7，x∈?－∞，－2]，?? 5．作出y＝?2x－3，x∈?－2，5]， ??7，x∈?5，＋∞?－7，x∈?－∞，－2]，?? 解 y＝?2x－3，x∈?－2，5]， ??7，x∈?5，＋∞?.图象如右图． 的图象，并求y的值域． 值域为y∈[－7,7]． 课堂小结 1．对分段函数的理解 (1)分段函数是一个函数而非几个函数． 分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集． (2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况． 2．函数与映射的关系 映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”，而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集．于是，函数是数集到数集的映射． 由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射． §1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小值) 第1课时 函数的单调性 学习目标 1.理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性(重点、难点).2.会求函数的单调区间，判断单调性(重点)． 预习教材P27－P28，完成下面问题： 知识点1 增函数与减函数 设函数f?x?的定义域为I，D?I，对任意x1，x2∈D 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) 1 (1)已知f(x)＝，因为f(－1) x (2)增减函数定义中的“任意两个自变量的值x1，x2”可以改为“存在两个自变量的值x1，x2”．( ) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( ) 提示 (1)× 由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量． (2)× 不能改为“存在两个自变量的值x1、x2”． ?x，x∈?1，2]，? (3)× 反例：f(x)＝? ?x－4，x∈?2，3?.? 知识点2 函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【预习评价】 (1)函数f(x)＝x2＋2x－3的单调减区间是________． (2)函数y＝|x|在区间[－2，－1]上( ) A．递减 B．递增 C．先减后增 D．先增后减 解析 (1)二次函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x＝－1，故其单调减区间是(－∞，－1)． (2)函数y＝|x|的单减区间是(－∞，0)，又[－2，－1]?(－∞，0)，所以函数y＝|x|在区间[－2，－1]上递减． 答案 (1)(－∞，－1) (2)A 题型一 求函数的单调区间 【例1】 (1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数． (2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间． (1)解析 观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数． 答案 [－2,1] [3,5] [－5，－2] [1,3] 2??－x＋2x＋1，x≥0， (2)解 y＝?2 ??－x－2x＋1，x<0，2??－?x－1?＋2，x≥0，即y＝? 2 ?－?x＋1?＋2，x<0.? 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)． 规律方法 根据函数的图象求函数单调区间的方法 (1)作出函数图象； (2)把函数图象向x轴作正投影； (3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间． 1【训练1】 函数y＝的单调减区间是________． x－1 11 解析 y＝的图象可由函数y＝的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调xx－1递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞)． 答案 (－∞，1)，(1，＋∞) 题型二 证明函数的单调性 4 【例2】 证明函数f(x)＝x＋在区间(2，＋∞)上是增函数． x证明 任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1 4?x2－x1?x1x2－444 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2). x1x2x1x2x1x2因为2 4 所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数． x规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤 1 【训练2】 证明函数f(x)＝2在(－∞，0)上是增函数． x证明 设x1，x2是区间(－∞，0)上任意两个实数，且x1 22 11x2－x1?x2－x1??x2＋x1? 则f(x1)－f(x2)＝2－2＝22＝. 2x1x2x1x2x21x22 因为x1 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 所以函数f(x)＝2在(－∞，0)上是增函数． x题型三 用单调性解不等式 【例3】 已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a) －1<1－a<1，?? 解 由题知?－1<2a－1<1， ??1－a>2a－1， 22 0，?. 解得0 规律方法 利用函数的单调性解不等式的方法 当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 1? 【训练3】 已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x) －1≤x≤1，??1解析 由题意得?1解得－1≤x<. 2 ??x<2，1 －1，? 答案 ?2?? 互动探究 题型四 根据函数的单调性求参数的取值范围 【探究1】 若函数y＝ax＋5是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，0) 【探究2】 已知函数y＝x2＋2ax＋3在区间(－∞，1]上是减函数，则实数a的取值范围是________． 解析 函数y＝x2＋2ax＋3的图象开口向上，对称轴为x＝－a，要使其在区间(－∞，1]上是减函数，则－a≥1，即a≤－1. 答案 (－∞，－1] ???－2x＋5，x≤1，?－2x＋5，x≤1， ?【探究3】 分别作出函数f(x)＝和g(x)＝?的图?－2x＋3，x>1?－2x＋7，x>1?? 象，并根据其图象的变化趋势判断它们在(－∞，＋∞)上的单调性． 解 函数f(x)的图象如图(1)所示，由其图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数； 函数g(x)的图象如图(2)所示，由其图象可知g(x)在(－∞，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数． ??－2x＋5，x≤1， 【探究4】 已知函数f(x)＝?是减函数，求实数a的取值范围． ?－2x＋a，x>1? 解 由题意得，要使f(x)是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a，即a≤5. 2??x＋2ax＋3，x≤1， 【探究5】 若函数f(x)＝?是减函数，求实数a的取值范围． ?ax＋1，x>1? －a≥1，?? 解 由题意可得?a<0， ??12＋2a×1＋3≥a×1＋1，则实数a的取值范围是[－3，－1]． 解得－3≤a≤－1， 规律方法 已知函数的单调性求参数的关注点 (1)视参数为已知数，依据基本初等函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知的单调区间比较求参数； (2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的函数值的大小关系． 课堂达标 1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A．y＝2x＋1 C．y＝3－x B．y＝x2＋1 D．y＝x2＋2x＋1 解析 函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数． 答案 C 2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( ) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 解析 易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)． 答案 B 3．若f(x)＝(2k－3)x＋2是R上的增函数，则实数k的取值范围是________． 33?解析 由题意得2k－3>0，即k>，故k的取值范围是??2，＋∞?. 23?答案 ??2，＋∞? 4．若函数f(x)是R上的减函数，且f(a－1)>f(2a)，则a的取值范围是________． 解析 由条件可知a－1<2a，解得a>－1. 答案 (－1，＋∞) 5．证明f(x)＝x2＋x在(0，＋∞)上是增函数． 2 证明 设x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝x21＋x1－x2－x2 ＝(x1－x2)(x1＋x2)＋(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2＋1)， 因为x1>x2>0，所以x1－x2>0，x1＋x2＋1>0，所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，所以f(x)＝x2＋x在(0，＋∞)上是增函数． 课堂小结 1．对函数单调性的理解 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性． (2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1 (3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1) (4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性． 2．单调性的证明方法 证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤： (1)设元：设x1，x2∈D且x1 (3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形； (4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断； (5)定论：对f(x)的单调性作出结论．其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号． 第2课时 函数的最大值、最小值 学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(难点).2.会借助单调性求最值(重点).3.掌握求二次函数在闭区间上的最值(重点)． 预习教材P30，完成下面问题： 知识点 函数的最大值与最小值 最大值 最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有 条件 f(x)≤M 存在x0∈I，使得f(x0)＝M f(x)≥M 结论 几何 意义 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 f(x)图象上最低点的纵坐标 f(x)图象上最高点的纵坐标 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数f(x)都有最大值和最小值．( ) (2)若存在实数m，使f(x)≥m，则m是函数f(x)的最小值．( ) (3)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小值是f(a)，最大值是f(b)．( ) 提示 (1)× 反例：f(x)＝x既无最大值，也无最小值． (2)× 若使m是f(x)的最小值，还需在f(x)的定义域内存在x0，使f(x0)＝m. (3)√ 由于f(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(a)≤f(x)≤f(b)．故f(x)的最小值是f(a)，最大值是f(b)． 题型一 用图象法和函数的单调性求函数的最值 x，－1≤x≤1，??【例1】 (1)已知函数f(x)＝?1则f(x)的最大值、最小值分别为 ，x>1.??x________，________. x (2)求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值． x－1 (1)解析 作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0， 2 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 答案 1 0 (2)解 任取2≤x1 x1－1x2－1 x1－x2x2x1f(x2)－f(x1)＝－＝， x2－1x1－1?x2－1??x1－1?∵2≤x1 x ∴f(x)＝在区间[2,5]上是单调减函数． x－1∴f(x)max＝f(2)＝ 255＝2，f(x)min＝f(5)＝＝. 2－15－14 规律方法1.图象法求最值的步骤 2．利用函数的单调性求最值的两个易错点 (1)求函数的最值时应首先求函数的定义域，在定义域内进行． (2)求函数在闭区间上的最值，易出现的失误是不判断函数的单调性而直接将两端点值代入，认为是函数的最值． 1 【训练1】 已知函数f(x)＝x＋. x(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值． (1)证明 设1≤x1＜x2， x1x2－111 则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)·. x1x2x1x2∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1， ∴x1x2－1＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． ∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数． (2)解 由(1)可知，f(x)在[1,4]上递增， ∴当x＝1时， f(x)min＝f(1)＝2， 当x＝4时， f(x)max＝f(4)＝ 17. 4 17 综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是，最小值是2. 4题型二 函数最值的实际应用 【例2】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投 1??400x－2x2?0≤x≤400?， 入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝?其中x是仪器的月产量． ??80 000 ?x＞400?. (1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解 (1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x， 1??－2x2＋300x－20 000?0≤x≤400?， 从而f(x)＝? ??60 000－100x?x＞400?.1 (2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000； 2∴当x＝300时，f(x)max＝25 000， 当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数， f(x)＜60 000－100×400＜25 000. ∴当x＝300时 ，f(x)max＝25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元． 规律方法 求解实际问题的四个步骤 (1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)． (2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化成函数问题． (3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测． 特别提醒：求解实际问题的步骤也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤． 【训练2】 某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为8020t吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？ 解 设t小时后，池中水量为y吨，则 y＝450＋80t－8020t＝4(20t－10)2＋50， 当20t＝10，即t＝5时，ymin＝50， 所以5小时后蓄水池中水量最少，最少为50吨. 互动探究 题型三 二次函数的最值 【探究1】 (1)求函数y＝x2－2x＋2的单调区间． (2)求函数y＝－x2－2x＋2的单调区间． 解 (1)函数y＝x2－2x＋2是开口向上，对称轴为x＝1的抛物线， 故其单减区间是(－∞，1)，单增区间是(1，＋∞)． (2)函数y＝－x2－2x＋2的图象是开口向下，对称轴为x＝－1的抛物线，故其单减区间是(－1，＋∞)，单增区间是(－∞，－1)． 【探究2】 函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[－1,0]，[－1,2]，[2,3]上的最大值和最小值分别是什么？ 解 函数f(x)＝x2－2x＋2的图象开口向上，对称轴为x＝1， (1)因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最大值为f(－1)＝5，最小值为f(0)＝2； (2)因为f(x)在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，则f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5. (3)因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5. 【探究3】 已知函数f(x)＝x2－ax＋1， (1)求f(x)在[0,1]上的最大值； (2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值． a 解 (1)因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝， 2所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值， a1 当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a； 22a1 当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1. 22 1 (2)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝. 2 1 ①当t≥时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1； 211 ②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在上是减函数， 22∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1； 11111 t，?上单调递减，在?，t＋1?上单调递增，③当t< 所以f(x)min＝f??2?＝4. 规律方法 含参数的二次函数最值问题的解法 解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值． 对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型： (1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值； (2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值； (3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数． 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论． 课堂达标 1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为( ) A．3,5 B．－3,5 C．1,5 D．5，－3 解析 因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5. 答案 B 2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为( ) A．[0,3] B．[－1,0] D．[－1,3] C．[－1，＋∞) 解析 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D． 答案 D 3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( ) A．2 B．－2 C．2或－2 D．0 解析 由题意a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2. 答案 C 4．函数f(x)＝6－x－3x在区间[2,4]上的最大值为________． 解析 ∵6－x在区间[2,4]上是减函数，－3x在区间[2,4]上是减函数，∴函数f(x)＝6－x－3x在区间[2,4]上是减函数，∴f(x)max＝f(2)＝6－2－3×2＝－4. 答案 －4 x－x?0≤x≤2?，?? 5．已知函数f(x)＝?2求函数f(x)的最大值、最小值． ?x>2?，??x－1 2 1 解 作出f(x)的图象如图：由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝时，f(x) 21 取最小值为－. 4 1 所以f(x)的最大值为2，最小值为－. 4 课堂小结 1．函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最 1 值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素． x (2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)． 2．二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得． 1.3.2 奇偶性 学习目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3.会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点)． 预习教材P33－P35，完成下面问题： 知识点 函数的奇偶性 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特点 关于y轴对称 奇函数 关于原点对称 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( ) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( ) (3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．( ) 提示 (1)× 反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数； (2)× 存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数； (3)× 函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数． 题型一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝x2－1＋1－x2； x (3)f(x)＝； x－1 ??x＋1，x>0， (4)f(x)＝? ?－x＋1，x<0.? 解 (1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0， 又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数． 规律方法 判断函数奇偶性的两种方法： (1)定义法： (2)图象法： 【训练1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x5； (2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； 2x2＋2x (3)f(x)＝. x＋1 解 (1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． 题型二 奇、偶函数的图象问题 【例2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示． (1)画出在区间[－5,0]上的图象． (2)写出使f(x)<0的x的取值集合． 解 (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． 规律方法 1.巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察． 【训练2】 已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小． 解 f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，如图， 由图象知，f(2) 考查方向 方向1 利用奇偶性求函数值 【例3－1】 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝( ) A．26 B．18 C．10 D．－26 题型三 函数奇偶性的应用 解析 法一 由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8， 得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx. 令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8， ∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x) ＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)， ∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)， 即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10， ∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26. 法二 由已知条件，得 53 ??f?－3?＝?－3?＋a?－3?＋b?－3?－8，①? 53?f?3?＝3＋a·3＋b·3－8，②? ①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16， 又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26. 答案 D 方向2 利用奇偶性求参数值 【例3－2】 若函数f(x)＝ ?x＋1??x＋a? 为奇函数，则a＝________. x ?－x＋1??－x＋a??x＋1??x＋a? 解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，显然x≠0， x－x整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1. 答案 －1 方向3 利用奇偶性求函数的解析式 【例3－3】 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式． 解 当x＜0，－x＞0， ∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1. 又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数， ∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0. 2x－1，x＞0，?? ∴所求函数的解析式为f(x)＝?0，x＝0， ??2x＋1，x＜0. 规律方法 1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法：利用函数的奇偶性的定义f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)可求函数值，比较f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的系数可求参数值． 2．利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式； (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 课堂达标 1．下列函数是偶函数的是( ) A．y＝x B．y＝2x2－3 C．y＝x D．y＝x2，x∈(－1,1] 解析 对于A，f(－x)＝－x＝－f(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)＝f(－x)，是偶函数；对于C和D，定义域不关于原点对称，则不是偶函数，故选B． 答案 B 2．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析 f(－x)＝(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)，f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，由f(－x)＝f(x)，得m－2＝0，即m＝2. 答案 B 1 3．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋－1，则f(－2)＝________. x199 解析 f(2)＝－22＋－1＝－，又f(x)是奇函数，故f(－2)＝－f(2)＝. 2229 答案 2 4．如图，已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且f(3)＝0，则不等式f(x)<0的解集为________． 解析 由条件利用偶函数的性质，画出函数f(x)在R上的简图：数形结合可得不等式f(x)<0的解集为(－3,0)∪(0,3)． 答案 (－3,0)∪(0,3) 5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，求f(x)的解析式． 解 当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x－1， x＋1，x>0，?? 又f(0)＝0，所以f(x)＝?0，x＝0， ??x－1，x<0. 课堂小结 1．定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个必要条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式． 2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?±1(f(x)≠0)． 3．应用函数的奇偶性求值、参数或函数的解析式，要根据函数奇偶性的定义，f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)对函数值及函数解析式进行转换． f?－x? ＝f?x? 习题课 函数的概念与性质 学习目标 1.进一步理解函数的概念及其表示方法(重点).2.能够综合应用函数的性质解决相关问题(重点、难点)． 1．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( ) A．{－2,0,4} 9?? C．?y|y≤－4? ? ? B．{－2,0,2,4} D．{y|0≤y≤3} 解析 依题意，当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝0.所以函数y＝x2－3x的值域为{－2,0,4}． 答案 A 2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( ) 11 A．y＝2 B．y＝ xx C．y＝x2 D．y＝x3 1 解析 函数y＝与y＝x3都是奇函数，y＝x2在(0，＋∞)上是增函数，故选A． x答案 A 3．若函数f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则( ) A．f(3)＋f(4)>0 C．f(－2)＋f(－5)<0 B．f(－3)＋f(－2)<0 D．f(4)－f(－1)>0 解析 因为f(x)是偶函数，所以f(4)＝f(－4)，又f(x)在[－6,0]上单调递减，所以f(－4)>f(－1)，即f(4)－f(－1)>0. 答案 D 4．设f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1)时，f(x)＝ 2 ??－4x＋2，－1≤x<0，3??则f??2?＝________. ?x，0≤x<1，? 3??1??1?1 －＋2＝f－＝－4×?－?2＋2＝1. 解析 f?＝f?2??2??2??2?答案 1 类型一 求函数的定义域和解析式 1 【例1】 (1)函数f(x)＝x＋2＋的定义域为________． x－12?2 (2)已知f??x＋1?＝x＋2x－3，则f(x)＝________. ??x＋2≥0，解析 (1)由?解得x≥－2且x≠1，故f(x)的定义域为{x|x≥－2且x≠1}． ?x－1≠0，? 224444 (2)令t＝＋1(t≠1)，则x＝，所以f(t)＝－3，即f(x)＝－2＋2＋xt－1?t－1?t－1?x－1?x－13(x≠1)． 44 答案 (1){x|x≥－2且x≠1} (2)－3(x≠1) 2＋?x－1?x－1规律方法 1.求函数的定义域的方法 求已知函数的定义域时要根据函数的解析式构建不等式(组)，然后解不等式(组)可得，同时注意把定义域写成集合的形式． 2．求函数解析式的方法有： (1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消去法． 【训练1】 (1)函数f(x)＝(x－1)0＋ 2 的定义域为________． x＋1 (2)已知f(x)是二次函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，f(2)＝1，f(1)＝3，则f(x)＝________. x－1≠0，?? 解析 (1)由?2得x>－1且x≠1，故f(x)的定义域为{x|x>－1且x≠1}． ≥0，??x＋1(2)由f(1－x)＝f(1＋x)且f(1)＝3，可设f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)，又f(2)＝a(2－1)2＋3＝1，故a＝－2，所以f(x)＝－2x2＋4x＋1. 答案 (1){x|x>－1且x≠1} (2)－2x2＋4x＋1 类型二 函数的单调性与最值 ax 【例2】 已知f(x)＝2(a≠0)，x∈(－1,1)． x－1(1)讨论f(x)的单调性； 11 －，?上的最大值和最小值． (2)若a＝1，求f(x)在??22?解 (1)设－1 ax1ax2－2 2x1－1x2－1 2 ax1x22－ax1－ax2x1＋ax2a?x2－x1??x1x2＋1?＝＝， 22?x1－1??x2?x1－1??x22－1?2－1? ∵－1 2 ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x1－1)(x22－1)>0， ∴当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)在(－1,1)上是减函数； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) －，?上是减函数， (2)当a＝1时，f(x)＝2，由(1)知f(x)在??22?x－11212 －?＝，最小值为f??＝－. 故f(x)的最大值为f??2?3?2?3规律方法 函数单调性的证明及应用 (1)利用定义法证明函数单调性的步骤为：取值、作差或作商、变形、定号、下结论，如本例中若含有字母，则一般需分类讨论． (2)利用函数单调性求最值的步骤：①确定函数的单调性；②借助最值与单调性的关系写出函数的最值． a 【训练2】 若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范 x＋1围是( ) A．(－1,0)∪(0,1) C．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] D．(0,1] 解析 由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]?[a，＋∞)，∴a≤1. 1 ∵y＝在(－1，＋∞)上为减函数， x＋1a ∴由g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a>0， x＋1故0 考查方向 类型三 函数性质的综合应用 方向1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 【例3－1】 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是________． 解析 因为f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又当x≥0时，f(x)是增函数，所以f(2) 答案 f(－2) 方向2 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 【例3－2】 设定义在[－3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数，若f(1－m) 解 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,3]上是减函数， 所以f(x)在[－3,3]上是减函数． 1－m>m，?? 所以不等式f(1－m) ??－3≤1－m≤3， 1 解得－2≤m<. 2 规律方法 1.利用函数的奇偶性和单调性比较大小的方法 对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值转化到同一个单调区间上，然后再根据单调性判断． 2．利用函数奇偶性和单调性解不等式 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1) 的形式，再根据奇函数的对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，列出不等式(组)，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响． 【训练3】 若奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2,6]上是( ) A．增函数且最小值是－1 C．减函数且最大值是－1 B．增函数且最大值是－1 D．减函数且最小值是－1 解析 ∵奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是－1. 答案 C 1．利用定义证明函数单调性的步骤：①取值；②作差；③定号；④判断． 2．判断函数单调性的常用方法有：定义法、图象法． 3．利用函数的单调性、奇偶性可以解决以下问题： (1)比较函数值的大小，根据已知条件，利用奇偶性把自变量转化到已知单调性的区间上，再根据函数的单调性比较大小； (2)解不等式，根据函数的奇偶性转化自变量的范围、然后根据函数的单调性脱掉“f”号，使其转化为具体的不等式后求解． 习题课 集合及其运算 学习目标 1.理解集合的相关概念，会判断集合间的关系(难点、重点).2.会进行集合间的运算． 1．设集合A＝{x|－1 解析 借助数轴知A∪B＝{x|－1 2．设A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，则( ) A．A?B B．B?A C．A∩B＝? D．A∪B＝R B．{x|－1 解析 易知A是偶数集，B是奇数集，故A∩B＝?. 答案 C 3．若U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{5,6,7}，则(?UA)∩(?UB)＝________. 解析 (?UA)∩(?UB)＝{4,5,6,7,8}∩{1,2,3,4,8}＝{4,8}． 答案 {4,8} 4．已知集合A＝{x|x2＋2x－2a＝0}，若A＝?，则实数a的取值范围是________． 1 解析 由题意得方程x2＋2x－2a＝0无实数根，故Δ＝22＋8a<0，解得a<－. 21 答案 {a|a<－} 2 类型一 集合的基本概念 【例1】 (1)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中有________个元素． A．4 B．5 C．6 D．7 (2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) A．1 B．3 C．5 D．9 解析 (1)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素，故选C． (2)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1； 当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1； 当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1； 当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1； 当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个． 答案 (1)C (2)C 规律方法 与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【训练1】 (1)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数是( ) A．1 B．3 C．4 D．6 (2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为________． 解析 (1)易知A＝{1,2}，又A∪B＝{0,1,2}，所以集合B可以是： {0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}． (2)当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1,5,13}，符合题意； 当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1，若m＝1，M＝{1,3,5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1. 答案 (1)C (2)3或1 类型二 集合间的基本关系 【例2】 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0 A．1 B．2 C．3 D．4 (2)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B?A，则x＝________. (3)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1 解析 (1)用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)由B?A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾．综上所述，x＝－2或x＝0. (3)当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠?时，若B?A，如图． m＋1≥－2，?? 则?2m－1≤7，解得2 (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 注意：若题目中含有条件B?A，A∩B＝B，A∪B＝A，则要注意B是否可为空集，有时需分类讨论． 【训练2】 已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B?A，则实数m等于( ) A．3 B．2 C．2或3 D．0或2或3 ?? ?6? 解析 当m＝0时，方程mx－6＝0无解，B＝?，满足B?A；当m≠0时，B＝?m?，因 66 为B?A，所以＝2或＝3，解得m＝3或m＝2. mm 答案 D 考查方向 方向1 集合的运算 类型三 集合的基本运算 【例3－1】 (1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(?UB)等于( ) A．{3} B．{4} C．{3,4} D．? (2)已知全集U＝R，A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|0 (2)(?RA)∩B＝{x|－1≤x≤3}∩{x|0 方向2 利用集合的运算求参数的值或范围 【例3－2】 (1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1 (2)已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠?，求a的取值范围． (1)解析 ∵B∪C＝{x|－3 由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}， ∴a＝－1，b＝2. 答案 －1 2 (2)解 因为A∩B≠?，所以A≠?， 即方程x2－4ax＋2a＋6＝0有实数根， 所以Δ＝(－4a)2－4(2a＋6)≥0， 即(a＋1)(2a－3)≥0， ???a＋1≥0，?a＋1≤0，所以?或? ?2a－3≥0???2a－3≤0， 3 解得a≥或a≤－1.① 2又B＝{x|x<0}， 所以方程x2－4ax＋2a＋6＝0至少有一个负根． 若方程x2－4ax＋2a＋6＝0有根，但没有负根， Δ≥0，?? 则需有?x1＋x2＝4a≥0， ??x1x2＝2a＋6≥0， 3 解得a≥. 2 3 所以方程至少有一负根时有a<.② 2由①②取公共部分得a≤－1. 即当A∩B≠?时，a的取值范围为{a|a≤－1}． 规律方法 集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解； (3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn图求解； (4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解． 【训练3】 已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3 (2)若A∩C≠?，求a的取值范围． 解 (1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3 因为A＝{x|2≤x<7}，所以?RA＝{x|x<2或x≥7}， 则(?RA)∩B＝{x|7≤x<10}． (2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x 1．集合中的元素的三个特征．特别是无序性和互异性在解题时经常用到，解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化． 2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化，对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到． 3．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的体现． 章末复习课 网络构建 核心归纳 1．集合的“三性” 正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参集合问题时应格外注意． 2．集合与集合之间的关系 集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A?B时，不要遗漏A＝?. 3．集合与集合之间的运算 并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合间的关系之间的转化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 4．函数与映射的概念 (1)已知A，B是两个非空集合，在对应关系f的作用下，对于A中的任意一个元素x，在B中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从A到B的映射，记作f：A→B.若f：A→B是从A到B的映射，且B中任一元素在A中有且只有一个元素与之对应，则这样的映射叫做从A到B的一一映射． (2)函数是一个特殊的映射，其特殊点在于A，B都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应关系．两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数． 5．函数的单调性 (1)函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题．深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键． (2)函数单调性的证明 根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下： ①取值：任取x1，x2∈D，且x1 ②作差变形：Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝…，向有利于判断差的符号的方向变形； ③判断符号：确定Δy的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； ④下结论：根据定义得出结论． (3)证明函数单调性的等价变形： f?x1?－f?x2? ①f(x)是单调递增函数?任意x1 x1－x2 x2)>0； f?x1?－f?x2? ②f(x)是单调递减函数?任意x1 x1－x2 x2)<0. 6．函数的奇偶性 判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提． 要点一 集合的基本概念 解决集合的概念问题的两个注意点 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素．然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么． (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 【例1】 集合M＝{x|ax2－3x－2＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的取值范围． 解 由题意可知若集合M中只有一个元素，则方程ax2－3x－2＝0只有一个根，当a2 ＝0时，方程为－3x－2＝0，只有一个根x＝－；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4×a×(－2)＝0， 39?9? 得a＝－.综上所述，a的取值范围是?0，－8?. 8?? 【训练1】 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． 解析 因为3∈A，则m＋2＝3或2m2＋m＝3，当m＋2＝3，即m＝1时，m＋2＝2m2 3 ＋m，不符合题意，故舍去；当2m2＋m＝3，即m＝1或m＝－，m＝1不合题意，若m＝ 233－，m＋2≠2m2＋m，满足题意，故m＝－. 22 3答案 － 2 要点二 集合间的基本关系 两集合间关系的判断 (1)定义法． ①判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集； ②判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集；若既有A?B，又有B?A，则A＝B. (2)数形结合法． 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取值． 【例2】 已知集合A＝{x|2x－3≥3x＋5}，B＝{x|x≤2m－1}，若A?B，则实数m的取值范围是________． 解析 解不等式2x－3≥3x＋5得x≤－8，即A＝{x|x≤－8}，因为A?B，所以2m－1≥7－8，解得m≥－. 2 7 答案 m≥－ 2 【训练2】 已知集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R}，B＝{1，m}，若A?B，则m的值为( ) A．2 B．－1 C．－1或2 D．2或2 x≥0，??2 解析 由x＝x2－2，可得?x－2≥0， ??x＝x2－2，?B，∴m＝2. 答案 A 考查方向 集合基本运算的方法及注意点 解得x＝2，∴A＝{2}，又∵B＝{1，m}，A 要点三 集合的基本运算 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． (2)进行集合的运算时要看集合的组成，并且要对有的集合进行化简． (3)涉及含字母的集合时，要注意该集合是否可能为空集． 方向1 集合的运算 【例3－1】 设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则?U(A∪B)等于( ) A．{1,4} B．{1,5} C．{2,5} D．{2,4} 解析 U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，所以?U(A∪B)＝{2,4}． 答案 D 方向2 利用集合运算求参数 【例3－2】 (1)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( ) A．0或3 B．0或3 C．1或3 D．1或3 (2)设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝?，则实数a的取值范围是( ) A．a≤1 B．a≥1 C．a≥0 D．a≤0 解析 (1)由A∪B＝A知B?A，所以m＝3或m＝m，若m＝3，A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，满足A∪B＝A；若m＝m，即m＝1或0，当m＝1时，m＝1，不合题意，舍去，当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，满足A∪B＝A，故选B． (2)因为A∩B＝?，所以0?B，且1?B，所以a≥1. 答案 (1)B (2)B 【训练3】 (1)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于( ) A．{x∈R|x≤2} C．{x∈R|－2≤x≤2} B．{x∈R|1≤x≤2} D．{x∈R|－2≤x≤1} (2)设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠?，则实数k的取值范围为________． 解析 (1)A＝{x∈R||x|≤2}＝{x∈R|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}． k(2)因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－}， 2k 且M∩N≠?，所以－≥－3?k≤6. 2答案 (1)D (2)k≤6 要点四 求函数的定义域 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题： ①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域． 注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同； ②定义域所指永远是x的范围． 2x2 【例4】 (1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为( ) 1－x1 －∞，? A．?2??11 －，? C．??22?1? B．??2，1? 11 －∞，?∪?，1? D．?2??2?? (2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为( ) 1 －，0? A．??3?C．[0,1] 1 －，3? B．??3?1 －，1? D．??3? ?1－x>0，?11 －∞，?∪解析 (1)由题意知?解得x<1且x≠，即f(x)的定义域是?2??2??2x－1≠0， ?1，1?. ?2? (2)由y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则x－1∈[－2,1]，即f(x)的定义域是[－2,1]，令－2≤1－3x≤1解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0,1]． 答案 (1)D (2)C 【训练4】 已知函数f(x)＝－2x＋3的值域为[－5,5]，则它的定义域为( ) A．[－5,5] B．[－7,13] C．[－1,4] D．[－4,1] 解析 可以画出函数y＝－2x＋3的图象，再根据图象来求；还可以运用观察法来求，当f(x)＝－5时，x＝4；当f(x)＝5时，x＝－1，所以定义域为[－1,4]． 答案 C 要点五 求函数的解析式 求函数解析式的题型与相应的解法 (1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法)． 1?(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f??x?，使用解方程组法． (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法． 【例5】 (1)已知f(2x－3)＝2x2－3x，则f(x)＝________. (2)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________. 11313 解析 (1)令2x－3＝t，得x＝(t＋3)，则f(t)＝2×(t＋3)2－(t＋3)＝t2＋t，所以f(x) 24222 13＝x2＋x. 22 (2)因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)11＝x＋. 22 1311 答案 (1)x2＋x (2)x＋ 2222 【训练5】 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式． 解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a ???a＝2，?a＝2， ?＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立，所以解得?所以???b＋5a＝17，?b＝7， f(x)＝2x＋7. 要点六 函数的概念与性质 函数单调性与奇偶性应用的常见题型 (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性． (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式． (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围． mx2＋25 【例6】 已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝. 33x＋n(1)求实数m和n的值； (2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值． 解 (1)∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， mx2＋2mx2＋2mx2＋2 ∴＝－＝. －3x＋n3x＋n－3x－n比较得n＝－n，n＝0. 4m＋255又f(2)＝，∴＝，解得m＝2. 363因此，实数m和n的值分别是2和0. 2x2＋22x2 (2)由(1)知f(x)＝＝＋. 3x33x任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2， 1?2 1－则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)??x1x2? 3x1x2－12 ＝(x1－x2)·. 3x1x2 ∵－2≤x1＜x2≤－1， ∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． ∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数， 45 ∴f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－. 33 【训练6】 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(－x)＝f(x)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(2a2＋a＋1) 解 ∵f(x)是定义在R上的函数，且f(－x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． 又f(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 17 a＋?2＋>0， 又2a2＋a＋1＝2??4?82a2－4a＋3＝2(a－1)2＋1>0， 由f(2a2＋a＋1) 得5a>2，a>. 52 ∴a的取值范围是a>. 5要点七 函数的图象及应用 作函数图象的方法 (1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线． (2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转． ①平移：y＝f(x) ――――→y＝f(x±h)； y＝f(x) ――――→y＝f(x)±k.(其中h>0，k>0) ②对称：y＝f(x)←――――→y＝f(－x)； y＝f(x)←――――→y＝－f(x)； y＝f(x) ←―――――→y＝－f(－x)． 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图． 【例7】 已知函数f(x)＝x2－2|x|＋a，其中x∈[－3,3]． (1)判断函数f(x)的奇偶性． (2)若a＝－1，试说明函数f(x)的单调性，并求出函数f(x)的值域． 解 (1)因为定义域[－3,3]关于原点对称， 关于原点轴对称关于x轴对称 关于y轴对称 上加下减 左加右减 f(－x)＝(－x)2－2|－x|＋a ＝x2－2|x|＋a＝f(x)， 即f(－x)＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． (2)当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2； 当－3≤x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2. 2 ???x－1?－2，0≤x≤3， 即f(x)＝? 2 ???x＋1?－2，－3≤x<0. 根据二次函数的作图方法，可得函数的图象，如图所示． 函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，(－1,0)，[0,1]，(1,3]． f(x)在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在(－1,0)，(1,3]上为增函数． 当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为f(1)＝－2，最大值为f(3)＝2； 当－3≤x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为f(－1)＝－2，最大值为f(－3)＝2. 故函数f(x)的值域为[－2,2]． 31 【训练7】 对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则 22f(x)的最小值是________． 31 解析 首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是指 2231 对某个区间而言，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个． 22 如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)． ?－x＋3 ?0 从图象观察可得函数f(x)的表达式：f(x)＝?31 x＋ ?1 2 x2－4x＋3 ?x≤0?， f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2. 答案 2 §2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算 学习目标 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点).3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质(重点)． 预习教材P49－P53，完成下面问题： 知识点1 根式 1．n次方根 (1)定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)个数： n是奇数 a>0 a<0 a>0 a<0 2．根式 (1)定义：式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ?a，n为奇数?nn (2)性质：(a)n＝a，an＝?(其中n>1且n∈N*)． ??|a|，n为偶数 n x>0 x<0 x仅有一个值，记为a nnn是偶数 x有两个值，且互为相反数，记为±a x不存在 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n∈N*时， ( n －16 )都有意义．( ) n (2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( ) (3)an＝a.( ) 提示 (1)× 当n是偶数时，(2)× 负数没有偶次方根； (3)× 当n为偶数，且a<0时，an＝－a. 知识点2 指数幂及其运算性质 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 0的分数指数幂 负分数指数幂 正分数指数幂 规定：a ＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1) mmnn ( n －16 )没有意义； n n n规定：a－n ＝1m＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1) an 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 2．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ars(a>0，r，s∈Q)． ＋ (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【预习评价】 1－ 2?2 的结果为( ) 计算：(π－3)0＋31×??4?3 A． 22 C． 3 7B． 21D． 2 9133＝1＋×＝. 4322 1 1 解析 原式＝1＋× 3答案 A 题型一 根式的运算 【例1】 求下列各式的值． (1)?－2?3；(2)?－3?2；(3)?3－π?8； (4)x2－2x＋1－x2＋6x＋9，x∈(－3,3)． 3 4 8 解 (1) (2) (3) 48 3 ?－2?3＝－2. 4 ?－3?2＝32＝3. ?3－π?8＝|3－π|＝π－3. (4)原式＝?x－1?2－?x＋3?2＝|x－1|－|x＋3|， 当－3 ??－2x－2，－3 因此，原式＝? ?－4，1 规律方法 根式化简与求值的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简． (2)注意点：①正确区分(a)n与an两式；②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论． 【训练1】 求下列各式的值：(1)?x－y?2；(2)5＋26－6－42＋7－43. 解 (1)?x－y?2＝|x－y|， 当x≥y时，?x－y?2＝x－y； 当x (2)原式＝?3＋2?2－?2－2?2＋?2－3?2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝22. 题型二 根式与分数指数幂的互化 【例2】 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)： (1)a2a；(2)aa； (3)a2·a3；(4)(a)2·ab3. 115 ＋ 解 (1)原式＝a2a2 ＝a22 ＝a2 . 1a·a2 ＝ 33 4 a2 ＝a . 3 3 n n (2)原式＝ 232313323＋2 (3)原式＝a ·a ＝a ＝a6 . 1(4)原式＝?3 ?a 213213173 ＋3323?·(ab)2 ＝a ·a2 b2 ＝a 2 b2 ＝a6 b2 . ? 规律方法 根式与分数指数幂互化的规律 化为 化为 (1)根指数?分数指数的分母，被开方数(式)的指数?分数指数的分子． (2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写 出． 【训练2】 把下列根式化成分数指数幂的形式(a>0，b>0)： 4 (1) 2－ b3 ；(2) aaa；(3)-23 1 4 . 32?a＋b? 34 解 (1) 2－ b3 ＝ b 4 211－3×4－ ＝b ＝b6 . 111111711 ??1?2?2＋＋44 (2)原式＝?a·2 ? ＝a2 ·a ·a8 ＝a2 8 ＝a8 . a ????a·111 ?－332－4332×?3324?(3)原式＝[(a＋b)] ＝(a＋b)??－ ?＝(a＋b) . ? ? 题型三 分数指数幂的运算 【例3】 计算下列各式： (1)23×1.5×12； 71037 2?0.5＋0.1－2＋?2?－3 －3π0＋； (2)??9??27?48 11?21???4×223?3a b ??－8a b ? 2 3 6 (3) 6－4a4·b3. 1111111 31??＋＋＋＋ 解 (1)原式＝2×32 ×??3 ×126 ＝21?－3?3 ×32 3 6 ＝2×3＝6. ?2?? ? 25?2?1?－2＋?64?－3 －3×1＋37＝5＋100＋9－3＋37＝100. (2)原式＝? ＋?9??10??27?4831648 2111 11332121＋24＋23?－24?×a ×b 3 ＋2 －3 ×b4 ＋2 －2 ＝6a2 b－4 . (3)原式＝＝6×a23 ?－4?×a3 ×b2 12 规律方法 1.指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 2．根式化简的步骤 (1)将根式化成分数指数幂的形式． (2)利用分数指数幂的运算性质求解． 217 【训练3】 化简：(1)a3 ·a5 ·a15 (a>0)； 13 1?4ab?－?2 ·(2)?1(a>0，b>0)． ?4?－－ 0.12?a3b3?2 － 1 2174＋＋ 解 (1)原式＝a3 5 15 ＝a3 . 3331－ 42 ·a2 ·b2 2×842(2)原式＝4 ·＝＝. 3310025 － 100×a2 ·b2 题型四 由条件求值 11 － 【例4】 已知a2 ＋a2 ＝4，求下列各式的值： (1)a＋a1；(2)a2＋a2. － － 11 －－－ 解 (1)将a2 ＋a2 ＝4两边平方，得a＋a1＋2＝16，故a＋a1＝14. (2)将a＋a1＝14两边平方，得a2＋a2＋2＝196，故a2＋a2＝194. － － － 规律方法 由条件求值问题的解题步骤 (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点； (2)化简：化简已知条件与所求代数式； (3)把已知条件代入求值． 1111 －－ 【训练4】 已知a2 －a2 ＝5，则a2 ＋a2 ＝________. 112112 ?＝a＋a－1＋2＝?2?＋4＝5＋4＝9，又因为a2 ＋a－－2－2解析 因为?2 ?a ＋a ??a －a ?111－2 >0，所以a2 ＋a2 ＝3. 1 答案 3 课堂达标 1．下列运算结果中，正确的是( ) A．a2a3＝a5 C．(a－1)0＝1 ＋ B．(－a2)3＝(－a3)2 D．(－a2)3＝a6 解析 a2a3＝a23＝a5，(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6，(a－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，(－a2)3＝－a6，故正确的是A，故选A． 答案 A 2.?a－b?2＋?a－b?5的值是( ) 5 A．0 B．2(a－b) D．a－b C．0或2(a－b) 解析 当a－b≥0时， 原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)； 当a－b＜0时，原式＝b－a＋a－b＝0. 答案 C 3. a35a·a4(a>0)的值为________． 141417 －－－525210解析 原式＝a·a ·a ＝a3 ＝a . 3 － 答案 17 a10 1?－2?－4－4÷20－??16? ＝________. ? 1 15×?4．计算：0.2－2 ? 1?－11 解析 原式＝×16－4÷1－??4?＝4－4－4＝－4. 4答案 －4 5．化简下列各式(式中字母均为正数)： (1) 1 4 b3aa6； b614 (2)4x ? ?－3x b3a 14 112???(结果为分数指数幂)． －－÷ y3 ??－6x2 y3 ? － 解 (1) 14 a6－2－4426＝b ×a ×a ×b ＝a. b 121111112＋＋－＋442???333－ y3 ?÷?－6x－2 y－3 ?＝2x y ＝2xy . 31 66 (2) 4x ?－3x ? 课堂小结 1．掌握两个公式：(1)(a)n＝a(n∈N*)；(2)n为奇数且n∈N*，an＝a，n为偶数且n ??a ?a≥0?， ∈N，a＝|a|＝? ?－a?a＜0?.? * nn n n 2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解． 2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质 学习目标 1.了解指数函数的概念(易错点).2.会画出指数函数图象(重点).3.掌握并能应用指数函数的性质(重、难点)． 预习教材P54－P56，完成下面问题： 知识点1 指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝－2x是指数函数．( ) (2)函数y＝2x ＋1 是指数函数．( ) (3)函数y＝(－3)x是指数函数．( ) 提示 (1)× 因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数； (2)× 因为指数不是x，所以函数y＝2x ＋1 不是指数函数； (3)× 因为底数小于0，所以函数y＝(－3)x不是指数函数． 知识点2 指数函数的图象及性质 a＞1 0＜a＜1 图 象 定义域：R 值域：(0，＋∞) 性质 过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 在R上是增函数 【预习评价】 (1)函数y＝2x的图象是( ) － 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 在R上是减函数 (2)函数f(x)＝ax1－2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________． ＋ 1?x－ 解析 (1)y＝2x＝??2?是(－∞，＋∞)上的单减函数，故选B． (2)令x＋1＝0，则x＝－1，f(－1)＝a0－2＝－1，则f(x)的图象恒过点(－1，－1)． 答案 (1)B (2)(－1，－1) 题型一 指数函数的概念及应用 【例1】 (1)给出下列函数： ①y＝2·3x；②y＝3x1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( ) ＋ A．0 B．1 C．2 D．4 35 －?＝，则f(3)＝________. (2)已知函数f(x)是指数函数，且f??2?25解析 (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x ＋1 的指数是x＋1，不 是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数． 3 －?＝a－2 ＝5－2 ，故a＝5，故f(x)＝5x，所以f(3)＝(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f??2?53＝125. 答案 (1)B (2)125 规律方法 判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数． 【训练1】 若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则( ) A．a＝1或－1 C．a＝－1 2 33 B．a＝1 D．a>0且a≠1 a＝1，?? 解析 由条件知?2－a>0，解得a＝－1. ??2－a≠1，答案 C 题型二 指数函数图象的应用 【例2】 (1)函数f(x)＝2ax1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________． ＋ 1?x＋1 (2)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝??3?＋2的图象？并画出相应图象． (1)解析 因为y＝ax的图象过定点(0,1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(x)＝－1，故f(x)＝2ax1－3的图象过定点(－1，－1)． ＋ 答案 (－1，－1) 1?x＋1－(x＋1)(2)解 y＝?＋2＝3＋2. ?3?作函数y＝3x的图象关于y轴的对称图象得函数y＝3x的图象，再向左平移1个单位长 － 度就得到函数y＝3 x＋1 －(x＋1) 的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3 －(x＋1) 1? ＋2＝??3? ＋2的图象，如图所示． 规律方法 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 【训练2】 (1)函数y＝2|x|的图象是( ) (2)函数f(x)＝ax －b 的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( ) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 x C．0 2，x≥0，?? 解析 (1)y＝2|x|＝??1?x故选B． ，x<0，???2? (2)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0 答案 (1)B (2)D 题型三 指数型函数的定义域、值域问题 【例3】 (1)函数f(x)＝1－2x＋A．(－3,0] C．(－∞，－3)∪(－3,0] 1 的定义域为( ) x＋3 B．(－3,1] D．(－∞，－3)∪(－3,1] 1?x (2)函数f(x)＝??3?－1，x∈[－1,2]的值域为________． (3)函数y＝4x＋2x1＋1的值域为________． ＋ ?1－2x≥0，?解析 (1)由题意得自变量x应满足?解得－3 ??x＋3>0， 11?x8?1?x?－8，2?. (2)∵－1≤x≤2，∴≤?≤3，∴－≤－1≤2，∴值域为?9?9?3?9?3?(3)函数的定义域为R，又y＝4x＋2x1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，易知2x>0，故y>1， ＋ 即函数的值域为(1，＋∞)． 8 －，2? (3)(1，＋∞) 答案 (1)A (2)??9? 规律方法 指数型函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． (2)值域：①换元，t＝f(x)． ②求t＝f(x)的定义域为x∈D. ③求t＝f(x)的值域为t∈M. ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 【训练3】 求函数y＝5 1 的定义域和值域． 2x－4 解 由2x－4>0，得x>2，故函数的定义域为{x|x>2}， 因为11 >0，所以y＝5>1，故函数的值域为{y|y>1}． 2x－42x－4 课堂达标 1．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝( ) A．(2)x B．2x 1?x C．??2? D．? 2?x ?2?解析 由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝2，所以f(x)＝(2)x. 答案 A 2．当x∈[－2,2)时，y＝3x－1的值域是( ) － 881 －，8? B．?－，8? C．?，9? A．??9??9??9?1? D．??9，9? 8－－ 解析 y＝3x－1，x∈[－2,2)上是减函数，∴32－1 9答案 A 3．已知函数f(x)＝2x，则f(1－x)的图象为( ) 1?x－1－?1?0－1＝2，解析 f(1－x)＝21x＝?是减函数，故排除选项C，D，又当x＝0时，?2??2?排除A，故选B． 答案 B 4．函数f(x)＝2·ax1＋1的图象恒过定点________． － 解析 令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图象恒过定点(1,3)． 答案 (1,3) 5．函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域是(－∞，0]，求实数a的取值范围． 解 由题意，当x≤0时，ax≥1，所以0 课堂小结 1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1. 2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的性质分底数a>1,0 3．由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同． 4．求函数y＝af(x)(a>0且a≠1)的值域的关键是求f(x)的值域． 第2课时 指数函数及其性质的应用 学习目标 1.理解指数函数的单调性与底数的关系(重点).2.能运用指数函数的单调性解决一些问题(重、难点)． 考查方向 方向1 比较两数的大小 【例1－1】 (1)下列大小关系正确的是( ) A．0.43<30.4<π0 C．30.4<0.43<π0 B．0.43<π0<30.4 D．π0<30.4<0.43 题型一 指数函数单调性的应用 (2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( ) A．a D．b 解析 (1)0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4，故选B． (2)∵1.50.6>1.50＝1,0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C． 答案 (1)B (2)C 方向2 解简单的指数不等式 1?3x－1 【例1－2】 (1)不等式??2?≤2的解集为________． (2)已知a －5x >ax7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． ＋ 1?－1 ?1?3x－1≤?1?－1，∵函数y＝?1?x在R上是减函(1)解析 ∵2＝?，∴原不等式可化为?2??2??2??2?数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}． 答案 {x|x≥0} (2)解 当a>1时，∵a当0 －5x －5x 7＋ >ax7，∴－5x>x＋7，解得x<－； 6 7＋ >ax7，∴－5x 6 77 综上所述，x的取值范围是：当a>1时，x<－；当0 1?x2－2x 【例1－3】 判断f(x)＝?的单调性，并求其值域． ?3?1?u解 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝??3?. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， 1?u又∵y＝??3?在(－∞，＋∞)上递减， 1?x2－2x∴y＝?在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减． ?3?∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， 1?u ∴y＝??3?，u∈[－1，＋∞)， 1?u?1?－1∴0＜??3?≤?3?＝3， ∴原函数的值域为(0,3]． 规律方法 1.比较幂值大小的三种类型及处理方法 2．解指数不等式的类型及应注意的问题 (1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为0 (2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解． 3．函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧 当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0 题型二 指数函数的实际应用 【例2】 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶1液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少. 3 (1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式； (2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？ 解 (1)过滤1次后的杂质含量为 2?1?22×?1－3?＝×； 1001003 22??1?2?2?2 过滤2次后的杂质含量为??100×3?×?1－3?＝100×?3?； 2?2??1?2?2?32过滤3次后的杂质含量为?100×??3??×?1－3?＝100×?3?； ?… 过滤n次后的杂质含量为 2?2?n ×?3?(n∈N*)． 100 故y与n的函数关系式为y＝ 2?2?n ×?3?(n∈N*)． 100 2?72641 (2)由(1)知当n＝7时，y＝×?＝>， 100?3?54 6751 000当n＝8时，y＝ 2?2?81281×?3?＝<， 100164 0251 000 所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． 规律方法 指数函数在实际问题中的应用 (1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题． (2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型． 【训练1】 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天． 解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． － 答案 19 题型三 指数函数性质的综合应用 1 【例3】 已知定义在R上的函数f(x)＝a＋x是奇函数． 4＋1(1)求a的值； (2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)； (3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围． 解 (1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数， ∴f(0)＝0， 11即a＋＝0，a＝－. 2211 (2)由(1)知f(x)＝－＋x， 24＋1故f(x)在R上为减函数． (3)∵f(x)为奇函数， ∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t) 即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立， 1 ∴Δ＝4＋12k<0，得k<－， 31 －∞，－?. ∴k的取值范围是?3?? 规律方法 解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧． (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行． (3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论． 113 【训练2】 已知函数f(x)＝?2x－1＋2?·x. ?? (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)证明：f(x)>0. (1)解 由题意得2x－1≠0，即x≠0， ∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 2x＋111 (2)解 令g(x)＝x＋＝x，φ(x)＝x3. 2－122?2－1?2x＋11＋2x ∵g(－x)＝－x＝＝－g(x)， 2?2－1?2?1－2x? － ∴g(x)为奇函数． 又∵φ(x)＝x3为奇函数， 113 ∴f(x)＝?2x－1＋2?·x为偶函数． ?? (3)证明 当x>0时，2x>1， 11∴2x－1>0，∴x＋>0. 2－12∵x3>0，∴f(x)>0. 由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0. 课堂达标 1．已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为( ) A．m>n B．m C．m＝n D．不能确定 解析 因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m>0.3n，所以m 1?|x| 2．f(x)＝??2?，x∈R，那么f(x)是( ) A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 1?x解析 由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝??2?是减函数． 答案 D 1?1－x3．函数y＝??2?的单调递增区间为( ) A．(－∞，＋∞) C．(1，＋∞) 解析 定义域为R. 1?u设u＝1－x，y＝??2?. ∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数． 1?u又∵y＝??2?在(－∞，＋∞)上为减函数， 1?1－x∴y＝??2?在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴选A． 答案 A 4．不等式23 －2x B．(0，＋∞) D．(0,1) <0.53x －4 的解集为________． －2x 解析 原不等式可化为23<24 －3x ，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－ 3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}． 答案 {x|x<1} 5．比较下列各组值的大小： (1)1.8 －0.1, 1.8 －0.2 ； (2)1.90.3,0.73.1； (3)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1)． 解 (1)因为函数y＝1.8x是R上的增函数，且－0.1>－0.2，所以1.8(2)因为1.90.3>1.90＝1,0.73.1<0.70＝1，所以1.90.3>0.73.1. (3)当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，又1.3<2.5，故a1.3 课堂小结 1．比较两个指数式值大小的主要方法 －0.1 >1.8 －0.2 . (1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性． (2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn. 2．解简单指数不等式问题的注意点 (1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0 (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解． §2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算 第1课时 对 数 学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点)． 预习教材P62－P63，完成下面问题： 知识点1 对 数 1．对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 2．常用对数与自然对数 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( ) (2)对数式log32与log23的意义一样．( ) (3)对数的运算实质是求幂指数．( ) 提示 (1)× 因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错； (2)× log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错； (3)√ 由对数的定义可知(3)正确． 知识点2 对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 【预习评价】 2x－3若log3＝1，则x＝________；若log3(2x－1)＝0，则x＝________. 3 2x－32x－3 解析 若log3＝1，则＝3，即2x－3＝9，x＝6；若log3(2x－1)＝0，则2x－1 33＝1，即x＝1. 答案 6 1 题型一 对数的定义 【例1】 (1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________． (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①54＝625；②log216＝4；③102＝0.01；④log － 5 125＝6. 4－x>0，?? (1)解析 由题意可知?x－2>0， ??x－2≠1，答案 (2,3)∪(3,4) 解得2 (2)解 ①由54＝625，得log5625＝4. ②由log216＝4，得24＝16. ③由102＝0.01，得lg 0.01＝－2. － ④由log125＝6，得(5)6＝125. 5 规律方法 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 【训练1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 1?m (1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)??2?＝n；(4)lg 1000＝3. 解 (1)因为43＝64，所以log464＝3； (2)因为ln a＝b，所以eb＝a； 1?m(3)因为??2?＝n，所以log1 n＝m； 2 (4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000. 题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 【例2】 (1)求下列各式的值． ①log981＝________.②log0.41＝________.③ln e2＝________. (2)求下列各式中x的值． 2 ①log64x＝－；②logx8＝6； 3③lg 100＝x；④－ln e2＝x. (1)解析 ①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2. 答案 ①2 ②0 ③2 21－×－－ (2)解 ①由log64x＝－得x＝643 ＝43(3 )＝42＝； 316 11 ×3 ②由logx8＝6，得x＝8，又x>0，即x＝86 ＝26 ＝2； 6 22 ③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2； ④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以ex＝e2，－x＝2，x＝－2. － 规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想． 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法． ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． 【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值． 1 (1)log2x＝－；(2)logx25＝2； 2(3)log5x2＝2. 1－ 解 (1)由log2x＝－，得22 ＝x， 2 1 ∴x＝2. 2 (2)由logx25＝2，得x2＝25. ∵x＞0，且x≠1，∴x＝5. (3)由log5x2＝2，得x2＝52， ∴x＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0， ∴x＝5或x＝－5. 题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值 【例3】 (1)71 a b －log 7 5 ；(2)?2lg 9－lg 2?； ?100? ?1 ? logc (3)alogb·(a，b为不等于1的正数，c>0)． 解 (1)原式＝7×7 1 2lg 9 －log75 77＝log75＝. 75 －lg 2 (2)原式＝100 a ×100 ＝10lg 9× 119 lg 2＝9×lg 22＝. 100?10?4 (3)原式＝(alogb)logc＝b logc＝c. b b 规律方法 对数恒等式alogaN＝N的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可． (2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解． 【训练3】 (1)设3log(2x 3 ＋1) ＝27，则x＝________. (2)若logπ(log3(ln x))＝0，则x＝________. 解析 (1)3log(2x 3 ＋1) ＝2x＋1＝27，解得x＝13. (2)由logπ(log3(ln x))＝0可知log3(ln x)＝1，所以ln x＝3，解得x＝e3. 答案 (1)13 (2)e3 课堂达标 1．有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log( 3 －5) ＝－5成立．其中正确的个数为( ) C．2 D．3 A．0 B．1 解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确． 答案 B 2．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( ) 1 A．a>且a≠1 2C．a>0且a≠1 －2a＋1>0，?? 解析 由题意知?a>0， ??a≠1，答案 B 3．方程lg(2x－3)＝1的解为________． 13 解析 由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝. 2答案 13 2 2 1 B．0 1 解得0 2 4．计算：2log3＋2log31－3log77＋3ln 1＝________. 解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 答案 0 5．把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． 1?a11－ (1)23＝；(2)?＝b；(3)lg ＝－3； ?7?81 000(4)ln 10＝x. 11－ 解 (1)由23＝可得log2＝－3； 881?a log1b＝a； (2)由?＝b得7?7?(3)由lg 11－ ＝－3可得103＝； 1 0001 000 (4)ln 10＝x可得ex＝10. 课堂小结 1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a＞0，且a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogN＝N. a 2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算． 3．指数式与对数式的互化 第2课时 对数的运算 学习目标 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算(重点).2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重点)． 预习教材P64－P65，完成下面问题： 知识点1 对数的运算性质 若a>0且a≠1，M>0，N>0，则有： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN. M (2)loga＝logaM－logaN. N(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)loga(xy)＝logax·logay.( ) (3)loga(－2)3＝3loga(－2)．( ) 提示 (1)√ 根据对数的运算性质可知(1)正确； (2)× 根据对数的运算性质可知loga(xy)＝logax＋logay； (3)× 公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数． 知识点2 换底公式 logcblogab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． logca【预习评价】 (1)log35·log56·log69＝________. (2)若log34×log48×log8m＝log416，则m＝________. lg 5lg 6lg 9lg 92lg 3解析 (1)原式＝··＝＝＝2. lg 3lg 5lg 6lg 3lg 3 lg 4lg 8lg mlg m (2)原方程可化为××＝＝2，即lg m＝2lg 3＝lg 9，∴m＝9. lg 3lg 4lg 8lg 3答案 (1)2 (2)9 题型一 利用对数的运算性质化简、求值 【例1】 计算下列各式的值： 1324 (1)lg－lg 8＋lg245； 24932 (2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 3 1431 解 (1)法一 原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5) 232251 ＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5 221111 ＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10 22221＝. 2 42×7542 法二 原式＝lg－lg 4＋lg 75＝lg 77×41 ＝lg(2·5)＝lg10＝. 2 (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 规律方法 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法 (1)基本原则： ①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 【训练1】 计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； 23 lg 3＋lg 9＋lg 27－lg355 (2). lg 81－lg 27解 (1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2) ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. 491 lg 3＋lg 3＋lg 3－ lg 3 5102 (2)原式＝ 4lg 3－3lg 3 ＝ ?1＋4＋9－1?lg 3?5102??4－3?lg 3 11＝. 5 题型二 利用换底公式化简、求值 【例2】 (1)(log43＋log83)(log32＋log92)＝________. (2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值． lg 3lg 3??lg 2lg 2?(1)解析 原式＝??lg 4＋lg 8??lg 3＋lg 9?＝ ?lg 3＋lg 3?·?lg 2＋lg 2?＝5lg 3×3lg 2＝5. ?2lg 23lg 2??lg 32lg 3?6lg 22lg 34 5答案 4 (2)解 法一 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b. log1845log18?9×5?log189＋log185 于是log3645＝＝＝ log1836log18?18×2?1＋log182＝ a＋b＝. 182－a 1＋log18 9a＋b 法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b. log18?9×5?log189＋log185a＋b 于是log3645＝＝＝. 1822log1818－log1892－alog18 9法三 ∵log189＝a,18b＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝＝blg 18. lg 45lg?9×5?lg 9＋lg 5alg 18＋blg 18a＋b ∴log3645＝＝＝＝＝. lg 361822lg 18－lg 92lg 18－alg 182－a lg9规律方法 利用换底公式化简与求值的思路 【训练2】 (1)已知log1227＝a，求log616的值； (2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值． 3lg 3 解 (1)由log1227＝a，得＝a， 2lg 2＋lg 33－a ∴lg 2＝lg 3. 2a 3－a4× 2a4?3－a?lg 164lg 2 ∴log616＝＝＝＝. lg 6lg 2＋lg 33－a3＋a 1＋2a log225log25??log54log58?log253＋＋log52＋＋(2)法一 原式＝?·log24log28??log525log5125? ?
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