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(2)驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离． 驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间）t1较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求（在考驾照时都必须经过测试）．例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒，（反应时间的长短并不影响到计算方法）． 停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下．设汽车质量为m,刹车摩擦系数为f，x(t)为刹车后在t时刻内行驶的距离，更久刹车规律，可假设刹车制动力为fmg（g为重力加速度）．由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程
?d2xm2??fmg??dt ? (3.3)
dx?x(0)?0,?v0?dtt?0?在方程(3.3)两边同除以m并积分一次，并注意到当t?0时
dx?v0，得到 dtdx??fg?tv0 (3.4) dtdx?0，故 刹车时间t2可这样求得，当t?t2时，dtt2?v0 fg将(3.4)再积分一次，得 x(t)??将t2?1fgt2?v0t 2v0代入，即可求得停车距离为 fg21v0 x(t2)?2fg据此可知，停车线到路口的距离应为：
21v0 L?v0t1?
2fg等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离．
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（黄灯时间的计算）
现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了．在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口．记街道的宽度为D（D很容易测得），平均车身长度为l，这些车辆应通过的路程最长可达到L?D?l，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为： T?L?D?l． v03．3 建立常微分方程模型的方法和步骤
从上边的例子大致可以看出微分方程模型的特点是反映客观现实世界中量与量的变化关系，往往与时间有关是一个动态(力)系统．构造常微分方程的数学模型有如下几种方法：
1． 运用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型
主要利用各学科中已知的定理或定律来建立的.如力学中的牛顿第二运动定律，万有引力定律，傅里叶传热导定律，弹性形变中的虎克定律，拆里定律，阿基米德原理，放射性问题中的衰变率，生物学、经济学、人口问题中的增长率等． 2．利用导数的定义建立微分方程模型
在微积分中导数是一个重要概念，其定义为
dyf(x??x)?f(x)?y?lim?lim
?x?0?xdx?x?0?xdy如果函数f(x)是可微的，那么就可解释为y相对于x在该点的瞬时变化率。把
dx导数解释为瞬时变化率在很多建模应用问题中都有用．如在生物学以及人口问题研究中出现的“速率”、“增长”；在放射问题中出现的“衰变”，在经济学中出现的“边际的”等，这些词的出现就是一个信号，这个时候要注意哪些研究对象在变化，这些变化规律也许可以用在微分方程的表示中．例如在考古学中，经常需要测定某种文物的绝对年龄，这时我们可以考察其中的放射性物质，由裂变规律：放射性物质的裂变速度与其存余量成正比．我们假设时刻t时该放射性物质的存余量为u，u是t的函数，则我们可以建立常微分方程模型
du??ku dt其中k?0是衰变系数，与放射性物质本身有关.求解该模型，我们解得：u?ce?kt,
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其中c是待定系数，它可以由初始条件确定.这样我们就可以测定这种文物的绝对年龄.
3．利用微元法建立常微分方程模型
这种方法主要是通过寻求微元之间的关系式，直接对函数运用有关定律建立模型．一般的，如果某一实际问题中所求的变量I符合下列条件： I是与一个自变量x的变化区间[a,b]有关的量；I对于区间[a,b]具有可加性；部分量
?Ii?f(?i)?xi．那么就可以考虑利用微元法来建立常微分方程模型，其步骤是：根据问题的具体情况，选取一个自变量x，并确定其变化区间为[a,b]；在区间[a,b]中任意选取一个任意小的区间记作[x,x?dx]，求出相应于这个区间的部分量?I的近似值．将?I近似的表示为一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积，即
?I?f(x)dx，记f(x)dx?dI，dI称为量I的微元．等式两边同时积分就可以求出
要求的量I了．这种方法经常被应用于各种领域．例如在空间解析几何上可以用微元法求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积；代数方面求近似值以及流体混合问题；物理上求变力做功、压力、静力矩与重心． 4.模拟近似
对于规律或现象不很清楚，比较复杂的实际问题，常用模拟近似法来建立常微分方程模型．这类模型一般要做一些合理假设，将要研究的问题突出出来．这个过程往往是近似的，因此用此法建立常微分方程模型后，要分析其解的有关性质，在此基础上同实际情况对比，看所建立的模型是否符合实际，必要时要对假设或模型进行修改．
3.4建立微分方程模型的一般准则
在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的规律．微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲线．
(1)转化翻译：有许多表示导数的常用词，如速率、增长、衰变、边际、弹性等．改变、变化、增加、减少这些词可能是一种暗示信号，只需弄清楚什么在变，随什么而变，这时也许导数就用得上．
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(2)机理分析：将所研究的问题看成一个封闭和系统，思考研究的问题是否遵循什么原理或物理定律，是应该用已知的定律还是去推导问题的合适结果．在不知道问题的机理时，合理的想象和类比是很重要的．
不少问题都遵循下面的平衡式：
净变化率?输入率-输出率
如果当这个平衡式出现的时候我们能理解它，并且能使用正确的物理量纲，或许就得到了需要的微分方程．
(3)微分方程模型：微分方程是在任何时刻必须正确的瞬时表达式．如看到了表示导数的关键词，就要寻找y?(t)与y(t), t的关系．首先将注意力集中在文字形式的总关系式上，如“速率=输入-输出”．写出这些关系式，然后准确填好式中的所有项．
(4)单位：一旦确定了哪些项应该列入微分方程中，就要确保每一项都采用同样的物理单位，保证式子的平衡．
(5)定解条件：系统在某一特定时刻的信息，独立于微分方程而成立，利用它们来确定有关的常数，包括比例系数、原微分方程的其它参数以及解中的积分系数．
4微分方程建模 4.1数学建模的简介
数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程.这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象；也包涵抽象的现象，如顾客对某种商品所取的价值倾向.这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测、试验和解释实际现象等内容.
我们还可以直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家变成物理学家、生物学家，经济学家甚至是心理学家等的过程.要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音、录像、比喻、传言等等.而数学语言以其科学性、逻辑性、客观性及可重复性的特点，在描述各种现象时体现出其别具一格地严密与贴合实际.正是由于这样，更多人越来越喜欢运用数学这种严格而又严密的语言，而使用数学语言描述的事物就称为数学模型.有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是
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