常微分方程在数学建模中的应用

洛阳师范学院本科毕业论文

实际操作的一种理论替代.举个简单例子：某司机欲把某货物从甲地运往乙地，应如何选择运输路线使总路程最短？该司机不会开着车去试探，而是利用交通图来确定自己的行车路线．从这个简单的例子中我们可以看到数学模型的重要性．

应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，也就是说使抽象的事物变的感性化.而建立模型首先要通过调查、收集数据资料，其次是观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，最后是建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.在这个过程中深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力和想象力、对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面就尤为重要.其实，数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到各类学科的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一. 4.2数学建模的方法与步骤

数学模型就是针对或参照某种问题(事件或系统)的特征和数量相依关系，采用形式化语言，概括或近似地表达出来的一种数学结构．数学模型因问题不同而异，建立数学模型也没有固定的格式和标准，甚至对同一个问题，不同角度，不同要求出发，可以建立起不同的数学模型，因此，与其说数学建模是一门技术，不如说是一门艺术．它需要熟练地数学技巧，丰富的想象力和敏锐的洞察力，需要大量阅读，思考别人做的模型，尤其要自己动手，亲身体验．数学建模注重的是建模的方法和过程，一般的建模方法和步骤如下： 1.模型准备

如果想对某个实际问题进行数学建模，通常要先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清楚要建模的问题属于哪类学科，然后通过互联网或图书馆查找，搜集与建模要求相关的资料和信息，对该问题进行全面的，深入细致的调查和研究． 2.模型假设

一个实际问题往往会涉及很多因素，如果把涉及的所有因素都考虑到，既不可能也没必要，而且还会使问题复杂化导致建模失败．要想把实际问题变为数学

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问题，需要抓住主要因素，暂不考虑或忽略次要因素，对其进行必要的、合理的简化和假设．一般的，所得建模的结果依赖于对应模型的假设，模型假设到何种程度取决于经验和具体问题．在整个建模过程中，模型假设可以通过模型的不断修改得到逐步完善． 3.模型建立

有了模型假设，就可以选择适当的数学工具并根据已有的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构．在建模时有几点是需要注意的：

①分清变量类型，恰当使用数学工具如果实际问题中的变量时确定性变量，建模时数学工具多用微积分、微分方程、线性规划、非线性规划、图论与网络、投入产出、插值与拟合等．如果是随机变量，建模时数学工具多用概率、统计、随机性存贮论、排队论、对策论、决策论、随机微分方程等．由于数学分支很多，又加之互相交叉渗透，派生出许多分支．建模时具体用什么分支好，一是因问题而异，二是因人而异，应看自己对哪门学科比较熟悉精通，尽量发挥自己的特长．

②抓住问题的本质，简化变量之间的关系模型尽可能简单、明了、思路清晰，能不采用尽量不用高深的数学知识，不要追求模型技术的完美，要侧重于实际应用．

③建模要有严密的推理在己定的假设下，建模过程中推理一定要严密，以保证模型的正确性，否则会造成模型错误，前功尽弃．

④建模要有足够的精确度所建的模型应能够满足实际问题对精度的具体要求． 4.模型求解

在已经建立起来的数学模型中可采用解方程、推理、图解、定理证明等各种传统和现代的数学方法进行求解，其中有些工作可以用计算机软件来完成．目前市场上流行的数学工具软件比较多．如Mathlab，Mathematic等． 5.模型检验

在求得模型的解之后，需要对模型进行分析和检验．模型分析主要包括误差分析、模型对数据的稳定性分析和灵敏度分析等．模型检验是将所得结果的理论数值与实际数值相比较，如果两者相符，则说明所建模型是成功的；否则需要对所建模型进行修改．因为所建模型是在一定假设条件下所得的，理想化的产物，

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可能与实际问题有较大出入，这时需要反过来仔细检查简化与假设是否合理．如果不合理则进行修改同时根据新的简化与假设建立数学模型．这个过程需要反复循环进行，直到满足要求为止． 6.模型应用

利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释和预报供决策者参考，这一过程称为模型应用．一般来说，建模是预测的基础，而预测又是决策与控制的前提．建立数学模型的步骤可以用下面的框图4－1表示

观察、分析 现实问题 收集数据 简化假设 确定主要因素 建立模型 及其相互关系 解释、预测数字工具 4.3数学建模示例

在建模中，根据问题不同建立的模型不同，在前文也讲到了具体哪些问题用到建立微分方程模型．在数学建模中有各种各样的常微分方程模型，例如：人口模型、传染病模型、糖尿病模型、作战模型、交通模型、经济模型、辨别艺术伪造品模型等，这里以人口模型为例简单介绍常微分方程在建模中的应用．

例4 人口模型

人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长，统计数据见表4―1．由表4―1可见，世界人口每增加10亿的时间由100年缩短为十二、三年，人类赖以生存的地球已经携带着它的60亿子民进入了21世纪．

表4－1 世界人口统计数据

年 人口（亿）

1625 5

1830 10

1930 20

1960 30

1974 40

1987 50

1999 60

应用模型 检验模型 图4－1

求解模

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长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系，人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题.

认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.长期以来人们在这方面做了不少工作，下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表4－2给出的近两个世纪的美国人口统计数据，对模型作检验.

表4－2 美国人口统计数据（单位：百万）

年 人口 年

1790 3.9 1900

1800 5.3 1910 92.0

1810 7.2 1920

1820 9.6 1930

1830 12.9 1940

1840 17.1 1950

1850 23.2 1960

1860 31.4 1970

1870 38.6 1980

1880 50.2 1990

1890 62.9 2000

人口 76.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4

1.人口指数增长模型（马尔萨斯人口模型） 最简单的人口增长模型是：

记今年人口为x0，k年后人口为xk，年增长率为r，则 xk?x0(1?r)k,k?1,2,显然，这个公式的基本前提是年增长率r保持不变．

二百多年前英国人口学家马尔萨斯（Malthus,1766-1834）调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口的增长率是常数的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型． (1) 模型构成

记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，x(t)是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将x(t)视为连续、可微函数．记初始时刻(t?0)的人口为x0，假设人口增长率为常数r，即单位时间内x(t)的增量与

x(t)的比例系数．考虑t到t??t时间内人口的增量，显然有

. (4.1)

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