洛阳师范学院本科毕业论文
x(t??t)?x(t)?rx(t)?t. 令?t?0取极限，得到x(t)满足的微分方程
dx?rx,x(0)?x0. (4.2) dt由这个线性常系数微分方程很容易解出
x(t)?x0ert ， (4.3) 表明人口将按指数规律随时间无限增长(r?0)．因此，(4.3)式称为人口指数增长模型，也称为马尔萨斯人口模型．
由微分学的理论知，当r?1时，er?1?r．
这样将t以年为单位离散化，由公式(4.3)就得到了前面所讨论的公式(4.1)，即 x(t)?x0(1?r)t,t?1,2,．
由此可见公式(4.1)只是人口指数增长模型(4.3)的离散近似形式． (2) 对人口指数增长模型的检验
下面我们应用人口指数增长模型(4.3)对美国人口的增长进行预测. 首先将模型(4.3)线性化为
lnx(t)?lnx0?rt. (4.4) 记 y?lnx(t),a?lnx0，则(4.3)线性化为
y?a?rt. (4.5) 根据表4－2中数据、及(4.4)和(4.5)两式，应用线性回归分析的理论，建立了对美国人口的增长进行预测的数学模型
x?6.0450e0.2022t . (4.6) 其中x的单位为百万人，t的单位为10年.
应用预测模型(4.6)对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算,并与实际人口相比较，结果见表4－3.
表4－3
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年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890
实际人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9
计算人口 6.0 7.4 9.1 11.1 13.6 16.60 20.30 24.90 30.5 37.3 45.7
年 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
实际人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4
计算人口 55.9 68.4 83.7 102.5 125.5 153.6 188.0 230.1 281.7 344.8 422.1
由表4－3可见，预测模型(4.6)基本上能够描述19世纪以前美国人口的增长.但是进入20世纪后，美国人口的增长明显变慢了，运用预测模型(4.6)进行预报不合适了.
历史上，人口指数增长模型与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口也大致符合这个模型.另外，用它作短期人口预测可以得到较好的结果.显然，这是因为在这些情况下，模型的基本假设 “人口增长率是常数”大致成立.
但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程，这是因为人口增长率事实上是不断地变化着.排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，其增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小．看来，为了使人口预测特别是长期预测能更好地符合实际情况，必须修改人口指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设．
2．人口阻滞增长模型（Logistic 模型）
分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越
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来越大．所谓人口阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对人口指数增长模型的基本假设进行修改后得到的．
(1)模型构成
阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示为x的函数r(x)，则它应是减函数，于是方程(4.2)改写为
dx?r(x)x,x(0)?x0. (4.7) dt对r(x)的一个最简单的假设是，设r(x)为x的线性减函数，即
r(x)?r?sx(r?0,s?0). (4.8) 这里r称为固有增长率，表示人口很少时（理论上是x?0）的增长率.为了确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm，称为人口容量.当x?xm时人口不再增长，即增长率r(xm)?0，代入(4.8)式得s?rxm.于是(4.8)式化为
r(x)?r(1?x). (4.9) xm其中r，xm是根据人口统计数据或经验确定的常数，(4.9)式的另一种解释是：增长率r(x)与人口尚未实现部分的比例(xm?x)xm成正比，比例系数为固有增长率
r.
将(4.9)式代入方程(4.7)得
dxx?rx(1?),x(0)?x0. (4.10) dtxmx
)则体现了资源和xm
方程(4.10)右端因子rx体现人口自身的增长趋势，因子(1?
环境对人口增长的阻滞作用.显然x越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果.方程(4.10)称为人口阻滞增长模型，也称为Logistic模型.
用分离变量法解方程(4.10)得
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x(t)?xmx1?(m?1)e?rtx0 . (4.11)
方程(4.10)和模型(4.11)的图形见图4－2和图4－3.图4－3是一条S形曲线，x的增加是先快后慢.当t??时，x?xm，拐点在x?xm处. 2
图4－2 图4－3
(2)对人口阻滞增长模型的检验
下面我们应用人口阻滞增长模型(4.11)对美国人口的增长进行预测。 由于模型(4.11)不能线性化，因此不能运用线性回归分析理论进行参数估计，我们不用(4.11)式，而将方程(4.10)表示为
y?令y?dxr. (4.12) ?r?sx,s?xdtxmdx，则(4.12)式线性化为 xdt y?r?sx. (4.13) 由表4－3可以直接得到x的数据，而y的数据可根据表4－3中数据运用数值微分的方法算出.在此基础上，应用第三单元中线性回归分析的理论即可估计出模型(4.13)中参数r和xm，而模型(4.13)中参数r和xm的估计值，也是模型(4.11)中参数r和xm的估计值.
运用上述方法，并且仅利用表4－2中1860年至1990年的数据，建立了对美国人口的增长进行预测的数学模型
x?392.0886. (4.14) ?0.2557t1?101.5355e 15
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