第四节 指数平滑法
指数平滑法是在移动平均法基础上发展而来的一种时间序列分析预测法，它是通过计算指数平滑值，配合一定的时间序列预测模型，对现象的未来进行预测。它既可用于市场趋势变动预测，也可用于市场季节变动预测。在市场趋势变动预测中，根据平滑次数不同，指数平滑法又可分为一次指数平滑法、二次指数平滑法、三次指数平滑法。
一、 一次指数平滑法
一次指数平滑法，是指根据本期观察和上期一次指数平滑值，计算其加权平均值，并将其作为下期预测值的方法。它仅适用于各期数据大体呈水平趋势变动的时间序列的分析预测，并且仅能向下作一期预测。 (一) 平滑公式和预测模型
设时间序列各期观察值为Y1、Y2，…，Yn,则一次指数平滑公式为
St(1)??Yt?(1-?)St-1 (7-16)
(1)式中：S(1)为第t期的一次指数平滑值；α为平滑系数，且0＜α＜1；Yt为第t期的观察值。 t?，即 将第t期的一次指数平滑值St作为第t+1期的预测值Yt?1(1)??S(1) (7-17) Yt?1t为进一步说明指数平滑法的实质，现将(7-16)式展开。 由于
St(1)??Yt?(1-?)St-1
(1)(1)St-1??Yt-1?(1-?)St-2
(1) … …
S1(1)??Y1?(1-?)S0
(1)(1)?所以 Y? ?Yt?(1-?)St-1 t?1? ?Yt?(1-?)[?Yt-1?(1-?)St-2]
(1)? ?Yt??(1-?)Yt-1????(1-?)t?1t-1Y1?(1-?)S0
t(1)???(1-?)Yt-j??(1-?)S0 (7-18)
j?0jt(1)由于0＜α＜1,当t→∞时，(1-α)t→0,于是将(7-27)式改写为
j?Y??(1-?)Yt-j (7-19) ?t?1j?0?t?1由于??(1-?)?1，各期权数由近及远依指数规律变化，且又具有平滑数据功能，
j?0j指数平滑法由此而得名。
(二)平滑系数α的选择
平滑系数的选择，既是指数平滑法的灵活性所在，又是运用指数平滑法的难点之一，迄今仍没有从理论上完全解决，它的确定带有一定的经验性。
由(7-19)式知，平滑系数α反映了历史各期数据对预测值影响作用大小。α值愈大，各期历史数据的影响作用由近及远愈迅速衰减；α值愈小，各期历史数据的影响作用由近及远愈缓慢减弱。
??S(1)，则有 由(7-19)推知Ytt-1
?? (7-20) Y? ?Yt?(1-?)Yt?1t????(Y-Y?) (7-21) 或者 Y? Yt?1ttt从(7-20)可以看出，第t+1期的预测值等于第t期的观察值与预测值的加权平均数。α值的 大小反映了第t期观察值和预测值在第t+1期预测值中所占的比重。α值愈大，第t
期的观察值所占比重愈大，同期的预测值所占比重愈小，反之亦然。换言之，α值的大小，体现了预测模型对时间序列实际观察值的反应速度。α值愈大，预测模型灵敏度愈高，愈能跟上实际观察值的变化。
从(7-21)可以看出，第t+1期的预测值等于第t期的预测值加上该期的修正预测误差。α值决定修正预测误差的幅度。α值愈大，修正幅度愈大；α值愈小，修正幅度愈小。
基于上述分析，平滑系数可根据时间序列数据的波动状况作如下选择： 第一，若时间序列数据不规则波动较大，α宜取较大值(如0.6～0.9)，以加大近期数据的比重，提高修正误差的幅度，使预测模型能迅速跟上实际观察值的变化。
第二，若时间序列数据不规则变动较小，α宜取较小值(如0.1～0.3)，使各期数据权数由近 及远缓慢变小，减小修正误差的幅度，预测模型不易受不规则变动的影响。 在实际应用中，对于特定的时间序列，往往同时选用n个不同的α值进行试算，最终选择使均方误差(MSE)较小的哪个α值用于预测。
㈢平滑初始值S0的确定
在次指数平滑法中，只有首先确定了一次指数平滑初始值S0后，才能计算第一期的
一次指数平滑值S1和递推计算第t期的一次指数平滑值St。但由(7-18)式知，S0的系数是(1-α)，由于1-α＜0,当时间序列项数n较少(即t值较小)时，S0对第t+1期的预测值影响较大；当时间序列项数n较多(即t值很大)时，S0对第t+ 1期的预测值影响很小。因此，一次指数平滑初始值S0通常可采用如下方法加以确定：
S0(1)(1)(1)t
(1)(1)(1)(1)(1)(1)?Y1 (n≥30)
S0?(1)Y1?Y2?Y33 (n＜30)
㈣指数平滑法的EViews软件实现
指数平滑的操作有三种方式可供选择：
一是，利用命令smooth。即在主窗口命令行输入 Smooth y
表示对时间序列y进行指数平滑。
二是，在主窗口点击Quick/Series Statistic/Exponential Smoothing。 三是，在序列对象窗口中点击Procs/Exponential Smoothing；
上述三种方式都会得到相同的对话窗口。在这个对话窗口中有一系列的选项，包括：平滑方法（Smoothing Method）；平滑后生成的序列名称（Smoothed Series）；平滑系数（Smoothing Parameter）；样本范围（Estimation Sample）；季节波动的周期（Cycle of Seasonal）。
对话窗口的左上部分是平滑方法（Smoothing Method），包括： Single 一次指数平滑
Double 二次指数平滑
Holtel-Winters-No seasonal 霍特-温特斯无季节模型（即线性平滑模型） Holtel-Wintesr-Additive 霍特-温特斯季节迭加模型 Holtel-Wintesr-Multiplicative 霍特-温特斯季节乘法模型
对话窗口的左下部分是平滑系数（Smoothing Parameter）。包括：Alpha(?),Beta(?)和Gamma(?)。平滑系数可以由用户指定，也可以由系统自动确定。如果由用户指定，可以在这三个系数后的对话框中，将E改为需要的数。注意，若选用Single或Double方法只需输入Alpha(?)的值；选用Holtel-Winter-No seasonal方法要输入Alpha(?)和Beta(?)的值；选用Holtel-Winter-Additive 和Holtel-Winter-Multiplicative方法，需输入三个平滑系数的值。如果平滑系数由系统自动确定，则不需要输入任何数字。
平滑生成序列（Smoothed Series）的名称可以由用户命名，也可以由系统指定。系统自动指定的名称为在原序列名（如y）之后加SM(即ySM)指数平滑法可以由EViews软件来实现，下面将并通过例题予以说明。
【例9】某地区A商品近年来的销售量数据见表7-11第（2）栏，试用一次指数平滑法预测其2006年的销售量。
表7-11 某地区A商品销售量一次指数平滑值计算表 单位：百件 销售年份 t 量Yt α=0.3 St (1)α=0.6 2(Yt?Y?t） α=0.9 ? Yt2(Yt?Y?t） ? Yt? Yt2(Yt?Y?t） (甲) (1) (2) (3) 1110.67 (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1998 1 1143 1120.37 1110.67 1045.23 1110.67 1045.23 1110.67 1045.23 1999 2000 2001 2002 2 3 4 5 1058 1101.66 1120.37 3889.89 1130.07 5193.80 1139.77 6685.84 1131 1110.46 1101.66 860.94 1086.83 1951.24 1066.18 4202.06 1057 1094.42 1110.46 2858.06 1113.33 3173.17 1124.52 4558.64 1192 1123.70 1094.42 9521.36 1079.53 12648.97 1063.75 16447.61 2003 6 1099 1116.29 1123.70 609.88 1147.01 2305.24 1179.18 6428.06 2004 7 1094 1109.60 1116.29 496.71 1118.21 585.89 1107.02 169.46 2005 8 1162 1125.32 1109.60 2745.66 1103.68 3400.98 1095.30 4448.66 Σ — — — — 22027.73 — 30304.52 — 43985.55 解：第一步，选取α值，现分别取α=0.3、0.6、0.9进行试算。
第二步，确定初始值。由于n=8＜30,因此，将序列最初三项数据的简单算术平均
数作为初始值，即
S0?(1)Y1?Y2?Y33?1143?1058?11313=1110 .67
第三步，按(4-18)和(4-19)式计算各期一次指数平滑值和预测值，有关计算结果列入表4-8之中。
第四步，计算不同α值下的均方误差，比较确定适宜的α值。 α=0.3时 MSE??N1nt?1?)2?22027.73(Yt-Yt8?2753.47
α=0.6时 MSE?α=0.9时 MSE?30304.52843985.558?3788.07 ?5498.19
计算结果表明，α=0.3时，MSE较小，故选取α=0.3用于分析预测。 第五步，进行预测。2006年该地区A商品的销售量预测值(t=9)为
??S(1)=1125.32(百件) Y98利用EViews软件计算。在建立工作文件、输入销售量数据后，再在主窗口命令行输入
Smooth y
在Smoothing Method中选用Single,在Smoothing Parameter中的Alpha输入不同的??0.3，运算结果见表7-12。
表7-12 一次指数平滑法EViews运算结果
Original Series: Y（原序列Y）
Forecast Series: YSM（预测序列即平滑后得序列YSM） Parameters: Alpha（平滑系数?） Sum of Squared Residuals（残差平方和）
0.3000 22532.22
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