导数题型汇总

导数题型汇总

易错点、学法指导及例题研究

例1、函数y?f(x)是定义在R上的可导函数，则f/(x0)?0是函数在x?x0时取得极值的（B）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 例2、已知函数y?f(x)?x(x?c)2在x?2处有极大值，则常数c＝ 6 ；

?y/?3x2?4cx?c2，略解：则y/|x?2?0 ?12?8c?c2?0 ?c?2或c?6，所以经检验c?6 （如?x?2时取得极大值，

令x?1时,y/?0，则3?4c?c2?0 ?c?3或c?1） 变式引申：

函数 在 x=1 时有极值10，则a，b的值为（C ） C、 D、 以上都不对

f(x)?x3?ax2?bx?a2a??4,b?1或 a??4,b?11A、 、 a??4,b?11a?3,b??3或 B

?a?3?a??4f(1)?10??1?a?b?a2?10解之得 ?b??3或?b?11略解:由题设条件得：

??/???a??4,b?11?f(1)?0?3?2a?b?0通过验证，都合要求，故应选择A，上述解法错误，正确答案选C，注意代入检验

(x)的极值点，f?则(x0)?0；若可导函数f(x)在点(x0,y0)的两侧的导数异号，则点说明：若点(x0,y0)是可导函f数(x0,y0)是可导函f数(x)的极值.点，函数f(x)在极值点(x0,y0)处不一定可导，如函数

y?x2?2x?3；函数在取得极值处，如果有切线

的话，则切线是水平的，从而f/(x)?0，但反过来不一定，如函数y?x3, 在x?0处f/(x)?0，说明切线是水平的，但这点的函数值不比它附近的大，也不比它附近的小，此处不一定有极值。

例3、函数y?f(x)是定义在R上的可导函数，则y?f(x)为R上的单调增函数是f/(x)?0的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件（B）

说明：当f/(x)?0时，函数y?f(x)单调递增，但y?f(x)单调递增，却不一定有f/(x)?0，例如函数f(x)?x3是R上的可导函数，

它是R上的增函数，但当x?0时，f/(0)?0

例4、函数f(x)?x3?3x (|x|?1) （D） A、 有最大值，但无最小值 B、有最大值、最小值 B、 C、无最大值、最小值 D、无最大值，有最小值

略解：f/(x)?3x2?3 ?|x|?1 ?f/(x)?0 ?函数f(x)在(?1,1)上单调递减，所以无最大、最小值。 说明：在开区间(a,b)内连续的且可导的函数f(x)不一定有最大值与最小值，如函数f(x)?1 x例5、求

1?x2f(x)?ln1?x2的单调递增区间

解：由函数的定义域可知， 1?x2?0 即?1?x?1

又

1?x21f(x)?ln?[ln(1?x2)?ln(1?x2)] 21?x21

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所以

令

f?(x)?12x?2xxx(?)??21?x21?x21?x21?x2

f?(x)?0，得x??1或0?x?1

f(x)的单调递增区间为（0，1）

综上所述，

说明：求函数的单调区间时千万要注意定义域 变式引申：已知a?R，求函数解：

令

f(x)?x2eax的单调区间.

f'(x)?2xeax?x2?eax?a?(2x?ax2)eax

f'(x)?0即(2x?ax2)eax?0 ?eax?0 ?2x?ax2?0

2解不等式：2x?ax当a?0， x(2?ax)?0

?0时，解得x?0，

2?a?0时，解得：x??或x?0，

a2当a?0时，解得0?x??，令f'(x)?0，即x(ax?2)?0

a2?x?0 当a?0时，解得x?0，当a?0时，解得：?a2当a?0时，解得x?0或x??

a综上所述：在a在a?0时，函数f(x)在区间(??,0)内为减函数，在区间(0,??)为增函数。

22?0时，函数f(x)在区间(??,?)内为增函数，在区间(?,0)为减函数，在区间(0,??)内为增函数。

aa22在a?0时，函数f(x)在区间(??,0)内为减函数，在区间(0,?)内为增函数，在区间(?,??)内为减函数。

aa说明：本题主要是在解不等式时注意对参数的讨论 例6、已知曲线y?138x上一点P(2 , )，求过点P的切线方程。 3381 解：?P(2,)在y?x3上，

338（1）当P(2,)为切点时，y??x2 ， ?y?|x?2?4 所求切线方程为12x?3y?16?0

3812（2）当P(2,)不是切点时，设切点为(x0,y0)，则y0?x03，又切线斜率为k?y/|x?x0?x02，所以x033?x0(x0?2)?13（舍去）(x0?8)，解得x0??1,或x0?2，此时切线的斜率为1，切线方程为3x?3y?2?0，

383，?x0?2y0?综上所述，所求切线为12x?3y?16?0或3x?3y?2?0。

例7、求下列直线的方程：

（1）曲线y?x3?x2?1在P(-1,1)处的切线； （2）曲线y?x2过点P(3,5)的切线； 2

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解：（1）?点P(?1,1)在曲线y?x3?x2?1上， ?y/?3x2?2x ?k?y/|x?－1?3－2?1

即x?y?2?0 所以切线方程为y?1?x?1 ， （2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0?x02①又函数的导数为y/?2x， 所以过A(x0,y0)点的切线的斜率为k?y/|x?x0?2x0，又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点，所以有2x0?y0?5②，由①②联立方程组得，x0?3?x0?1?x0?5?y?1 或 ?y?25，即切点为（1，1）时，切线斜率为k1?2x0?2;；当切点为（5，25）时，切线斜率为k2?2x0?10；所以所求的切线

?0?0 即y?2x?1 或y?10x?25 有两条，方程分别为y?1?2(x?1)或y?25?10(x?5)，说明： （1）过点P的切线不能等同于在P点处的切线；（2）求出两条切线，是否可以说不在曲线上的点切线一定存在呢？答案是否定的，由例题可知切线的条数取决于关于x0方程（或方程组）的解的个数；（3）若函数在某点处不存在导数，不一定不存在切线，存在切线也不一定可导。

例8、方程2x3?6x2?7?0在(0,2)内根的个数为 (B) A、0 B、1 C、2 D、3

则f/(x)?6x2?12x＝6x(x?2) 略解：令f(x)?2x3?6x2?7， f(2)??1?0，故得结论 由f/(x)?0得x?2或x?0 由f/(x)?0得0?x?2，又f(0)?7?0 ，例9、若函数y?ax3?bx2?cx?d(a?0)在x?R是增函数，则 （D） b2?4ac?0 B、b?0且c?0 C、b?0且c?0 D、b2?4ac?0 A、略解：不等式f/(x)?0或f/(x)?0在指定区间上恒成立 例10、函数f(x)?13x?ax2x?4在(3,??)上是增函数，则实数a 的取值范围为 （D） 3略解：方法（一）f/(x)?x2?2ax?3a2＝(x?3a)(x?a)?0，由题意可知当x?(3,??)时，上面不等式成立，当

a?0时， 由3a?3知a?1， 则0?a?1，当a?0时， 由?a?3知a??3， 则?3?a?0，若a?0，不等式显然不成立，故?3?a?1；

方法（二）因为f/(x)?x2?2ax?3a2，由题可知当x?(3,??)时，f/(x)?x2?2ax?3a2?0恒成立，因为当x?a时，f/(x)?x2?2ax?3a2??4a2?0，所以a?3且a?6a?3a2?0，所以?3?a?1

变式引申1：已知a为实数， （1）求导数

（3）若

f(x)?(x2?4)(x?a)。

f'(x)；（2）若f'(?1)?0，求f(x)在[?2,2]上的最大值和最小值；

f(x)在[??,?2]和[2,??)上都是递增的，求a的取值范围。

解：（1）（2）令

f(x)?x3?ax2?4x?4a，?f'(x)?3x2?2ax?4

12，此时f'(x)?3x?x?4 2

f1(?1)?0，解得a?

3

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由

f'(x)?0，得：x??1或x?f(x)在[?2,2]上最大值为

9243

，又

f(?1)?50 279450，f()??2327，

f(?2)?0，f(2)?0

所以

，最小值为?（3）

f'(x)?3x2?2ax?4

?f'(x)为开口向上且过点(0,?4)的抛物线，由条件知：f'(?2)?0，f'(2)?0

即??4a?8?0 解得：?2?a?2，所以a的取值范围是[?2,2]

?8?2a?03

2

变式引申2：（2006年江西卷）已知函数f（x）＝x＋ax＋bx＋c在x＝－

2

23与x＝1时都取得极值。（1）求a、b的值与函数f（x）

的单调区间；（2）若对x?〔－1，2〕，不等式f（x）?c恒成立，求c的取值范围。

解：（1）f（x）＝x＋ax＋bx＋c，f?（x）＝3x＋2ax＋b 由f?（－32221241－a＋b＝0，f?（1）＝3＋2a＋b＝0得，a＝－，b＝－2 ）＝

3932（－?，－f?（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

x 23） －0 23 （－－ 23，1） 1 （1，＋?） f?（x） ＋ f（x） ? 0 ＋ 极大值 ? 极小值 ? 所以函数f（x）的递增区间是（－?，－

23）与（1，＋?），递减区间是（－

23，1）

（2）f（x）＝x3－

12x－2x＋c，x?〔－1，2〕，当x＝－

2

23时，f（x）＝

22＋c 27为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。

要使f（x）?c（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c?f（2）＝2＋c，解得c?－1或c?2 变式引申3：已知a

2

2

?0，函数f(x)?1?ax2,x?(0,??)，设0?x1?，记曲线y?f(x)在点M(x1,f(x))处的切线为l。 xa?x2?111（ii）若x1?，则x1?x2? aaa（I）求l的方程；

（II）设l与x轴交点为(x2,0)，证明（i）0解：（I）

f'(x)??1x2，由此得切线l的方程为y?1?ax11??2(x?x1) x1x1 （II）切线方程中令

y?0，有0?1?ax11??2(x?x1)?x2?x1(1?ax1)?x1?x1(2?ax1) x1x12 a即x2?x1(2?ax1) 其中0?x1??x1?(i)?02121，?ax1?2，x2?x1(2?ax1)?0，又x2??a(x1?)? aaa111?0?x2?，当且仅当x1?时，x2?

aaa4