15、如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=2a，且PD是四棱锥的高。 （1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径。 （2）求四棱锥外接球的半径。 答案： 一、选择题
1、B；2、A；3、B；4、D；5、D；6、B；7、B 二、填空题 8、187 9、
c 2210、3633?5cm
??11、539 23
三、解答题
12、解：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a，锯掉的这个角是以三角形AGF为底面、H为顶点的一个三棱锥。其体积为V=
11111113
SAFG·AH= ··a·a·a =a， 332222481。 48∴所锯掉的这个角的体积是原正方体体积的
13、解：设底面边长为a,侧棱长为l,两条面对角线的长分别为c,d,则
?cl?Q1...........(1)?? dl?Q2...........(2)??1212(c)?(d)?a2.........(3)?2?2 由(1)得 c?Q1Q,由(2)得d?2 代入(3)得 ll(Q12Q22)?()?a2 2l2l2222∴Q1?Q2?4la
2la?Q1?Q2 S侧?4al?2Q1?Q2
思维启示：(1)此题需要大胆假设,为列方程方便,可以将对角线设出,但设而不解。(2)需大胆消元,整体代入,三个方程四个未知数,不能将其一一解出,这里需要将a与l的乘积看做一个整体进行计算。 14、解：如图，由题意，轴截面PAB为正三角形，故当球在容器内时，水深为3r，水面半径为3r，容器内水的体积就是V=V棱锥
-V球=?（3r）·3r-?r=?r
2
3
3
2222134353将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面半径为33/12
h，此时容器内水的体积为V=?（h）·h=33313
h 9由V=V，得h=315r。即铁球取出后水深为315r。
/
15、证明：（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R。 VP——ABCD=
11·SABCD·PD=·a·a·a 33=
13112
a，SPAD= SPDC=·a·a=a， 322221·a·2a=a
22SPAB= SPBC=SABCD=a。
2
VP—ABCD= VS—PDA+ VS——PDC+ VS-ABCD+ VS—PAB+ VS—PBC，
131a=R（SPAD+ SPDC+ SPAB+ SPBC+ SABCD）， 33131121222
a=R（a+a+a+
23322222
a+a）， 21213
R（2+2）a=a， 33∴R=a2?2=2?222a=（1-2）a
∴球的最大半径为（1-
22）a （2）设PB的中点为F， ∵ 在RtPDB中，FP=FB=FD， 在RtPAB中，FA=FP=FB， 在RtPBC中，FP=FB=FC， ∴FP=FB=FA=FC=FD。 ∴F为四棱锥外接球的球心。 则FP为外接球的半径 ∵FB=
132PB，∴FB=2a。
∴四棱锥的外接球的半径为32a。
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
练习二
一、 选择题
1、底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别9和15，高是15，则这个棱柱的侧面积是（A、 130 B、 140 C、 150 D、 160
2、正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为336a，则正三棱台的侧面积为（A 、a2 B、 12a2 C、 92a2 D、 32a2
3、正四棱锥底面外接圆半径为10cm，斜高为12cm，下面数据正确的是（ ） A、高h?211cm B、 侧棱长 l=12cm C、 侧面积s?602cm2
） ） D、 对角面面积s?1094cm
4、已知正面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则
2T=（ ） SA、 C、
14 B、 9911 D、 43
5、若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（ ） A、 C、
6、一个正四棱台两底面边长分别为m,n，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为（ ） A、 C、
7、正六棱台的两底面的边长分别为a和2a，高为a，则它的体积是（ ） A、
3 B、 2
3 223 D、
mnmn B、 m?nm?nm?nm?n D、 mnmn21213333a B、 a 22733a 2C、 73a3 D、
二、填空题
8、一个长方体的长、宽、高之比是1：2：3，全面积为88cm2，则它的体积是---------------。
9、正六棱锥的底面边长为a，高为
3a，求这个正六棱锥的全面积和侧棱长-----------------------------------。 2
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