拓展训练 2020年人教版八年级上册数学 期末测试(二)附答案

∴AB=AC,AE＝AD, ∠BAC=∠EAD=90°.

∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD.

在△ABE与△ACD中，,

∴△ABE≌△ACD( SAS).

(2)∵△ABE≌△ACD,∴∠ACD=∠ABE=45°. 又∠ACB=45°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°. ∴DC⊥BE.

25.解析 (1)证明：∵∠ACB=∠DCE=α,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE( SAS)， ∴BE=AD．

(2)∵△ACD≌△BCE, ∴∠CAD=∠CBE,

在△ABC中,∠BAC+∠ABC=180°-α,

∴∠BAM+∠CAD+∠ABC=∠BAM+∠CBE+∠ABC=∠BAM+∠ABM= 180°-α, ∴△ABM中,∠AMB=180°－(180°-α)=α. (3)△CPQ为等腰直角三角形． 证明：由(1)可得，BE=AD, ∵AD,BE的中点分别为点P,Q, ∴AP=ＢQ，

∵△ACD≌△BCE, ∴∠CAP=∠CBQ,

在△ACP和△BCQ中，

∴△ACP≌△BCQ( SAS)， ∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ, 又∵∠ACP+∠PCB=90°, ∴∠BCQ+∠PCB=90°, ∴∠PCQ＝90°,

∴△CPQ为等腰直角三角形． 26.解析 (1)AD+AB=AC.

证明：∵AC平分∠MAN,∠MAN=120°, ∴∠CAD=∠CAB=60°,

又∠ADC=∠ABC=90°,∴∠ACD=∠ACB= 30°,

1 则AD=AB=2AC，∴AD+AB =AC.

(2)仍成立．

证明：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F,

∵AC平分∠MAN,

∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵∠ABC+∠ADC=180°, ∠ADC+∠CDE=180°, ∴∠CDE=∠ABC,

又∠CED=∠CFB=90°, ∴△CED≌△CFB(AAS)，

∴ED=FB,∴ AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF, 由(1)可知AE+AF=AC, ∴AD+AB=AC.