概率论与数理统计复习题
一：全概率公式和贝叶斯公式
例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%, 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。（同步45页三、1）
解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6, P(B| A1)＝0.08，P(B| A2)＝0.09，P(B| A3)＝0.12。
由全概率公式P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 0.09 由贝叶斯公式：P(A1| B)＝P(A1B)/P(B) = 4/9
练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％，2％，4％ 。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？（同步49页三、1） 【 0.4 】
练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（同步29页三、5）
（1）取出的零件是一等品的概率；
（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。 解：设事件Ai={从第i箱取的零件}，Bi={第i次取的零件是一等品} （1）P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=1101182?? 250230522P(B1B2)1C101C18（2）P(B1B2)=,则P(|)== 0.485 BB??0.1942122P(B1)2C502C30二、连续型随机变量的综合题
??x0?x?2例：设随机变量X的概率密度函数为f(x)??
0others?求：（1）常数λ；（2）EX；(3)P{1 ????2??f(x)dx???xdx?1得到λ 02＝1/2 (2)EX?????xf(x)dx??3014xdx? 2322(3)P{1?x?3}??f(x)dx??1113xdx? 241 (4)当x<0时，F(x)??x??x0dt?0 f(t)dt??0dx????0x0当0?x<2时，F(x)?当x?2时，F（x）=1 ???11tdt?x2 24x?0?0?1?2F(x)??x0?x?2 故 ?4??1x?2 ?ax?b0?x?1练习：已知随机变量X的密度函数为f(x)?? 0others?且E(X)=7/12。求：（1）a , b ；（2）X的分布函数F(x) （同步49页三、2） ?2x0?x?1练习：已知随机变量X的密度函数为f(x)?? ?0others求：（1）X的分布函数F(x) ；（2）P{0.3 三、离散型随机变量和分布函数 例：设X的分布函数F(x)为： x??1?0?0.4?1?x?1? F(x)?? , 则X的概率分布为（ ）。 0.81?x?3??x?3?1分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x是离散型的随机变量 [答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.] 练习：设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。 [答案：当x＜1时，F(x)=0; 当1≤x＜2时，F(x)=0.2; 当2≤x＜3时，F(x)=0.5;当3≤x时，F(x)=1 四、二维连续型随机向量 例：设X与Y相互独立，且X服从??3的指数分布，Y服从??4的指数分布，试求： （1）(X,Y)联合概率密度与联合分布函数；（2）P(X?1,Y?1)； （3）(X,Y)在D??(x,y)x?0,y?0,3x?4y?3?取值的概率。 解:（1）依题知 ?3e?3x,x?0?4e?4y,y?0 fY(y)?? fX(x)??0,其他0,其他??所以(X,Y)联合概率密度为 2 ?12e?3x?4y,x?0,y?0 f(x,y)??其他?0,当x?0,y?0时，有 F(x,y)??dt?12e?3t?4sds?(1?e?3x)(1?e?4y) 00xy所以(X,Y)联合分布函数 ?(1?e?3x)(1?e?4y),x?0,y?0; F(x,y)??0,其他? （2）P(X?1,Y?1)?F(1,1)?(1?e?3)(1?e?4)； （3）P?(X,Y)?D???10dx?3?3x4012e?3x?4ydy?1?4e?3 1?(x?y)?150?ex?0,y?0f(x,y)??2500 ?0others?练习：设二元随机变量（X，Y）的联合密度是 求：（1）关于X的边缘密度函数f X(x)；（2）P{X≥50，Y≥50} （同步52页三、4） 五、二维离散型随机向量 设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处。 YX y1y218y3pi? x1x2p?j18161YXx1x2p?jy11241816y2183812y31121413pi?14] 341[ 答案： 六、协差矩阵 例：已知随机向量（X,Y）的协差矩阵V为V???6??46?? ?9?计算随机向量（X＋Y, X－Y）的协差矩阵（课本116页26题） 解：DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6 3 D(X＋Y)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25 D(X-Y) = DX + DY -2 COV(X,Y)=1 COV（X＋Y, X－Y）=DX-DY=-5 故（X＋Y, X－Y）的协差矩阵???25?5?? ???51? 练习：随机向量（X,Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为 2??1??1????????V???????2?1?2??1??222?? ??计算随机向量（9X＋Y, X－Y）的协差矩阵（课本116页33题） 解：E(9X+Y)= 9EX+ E Y＝9μ1+μ2 E(X－Y)= EX－E Y＝μ1－μ2 D(9X＋Y)=81DX + DY +18 COV(X,Y)=81σ12＋18ρσ1σ2＋σ22 D(X－Y)= DX + DY －2 COV(X,Y)=σ12－2ρσ1σ2＋σ22 COV（9X＋Y, X－Y）=9DX-DY－8 COV(X,Y)= 9σ12－8ρσ1σ2－σ然后写出它们的矩阵形式（略） 七、随机变量函数的密度函数 例：设X?U(0,2),则Y=X在(0,4)内的概率密度fY(y)?（ ）。 [答案 填： 22 2 14y] ?1,0?x?2?解：?X?U(0,2) ?f(x)??2， ??0,othersFY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?y?X?y}??求导出fY(y)?fX(y) 练习：设随机变量X在区间[1，2]上服从均匀分布，求Y=e[答案：当e?y?e时，f(y)=242Xy?yf(x)dx， 12y?fX(?y)(?12y)= 14y （0?y?4） 的概率密度f(y)。 1，当y在其他范围内取值时，f(y)=0.] 2y八、中心极限定理 例：设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹地命中率等于0.2。请用中心极限定理计算命中60发到100发的概率。（同步46页四、1） 4 解：设X表示400发炮弹的命中颗数，则X服从B(400,0.2),EX=80，DX=64, 由中心极限定理：X服从正态分布N(80,64) P{60 练习：袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。（课本117页41题） 九、最大似然估计 例：设总体X的概率密度为 ?(??1)x?,f(x)??,?00?x?1其他 其中未知参数???1，X1,X2,?Xn是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求?的估计量。 解：设似然函数L(?)?对此式取对数，即： ndlnLnlnL(?)?nln(??1)???lnxi且???lnxi d???1i?1i?1n?(??1)x?ii?1n(0?xi?1;i?1,2,?,n) 令 dlnL???1??0,可得?d?n?lnxi?1n，此即?的极大似然估计量。 i例：设总体X的概率密度为 ???axa?1e??x,x?0f(x)??,(??0,a?0) ?0,x?0?a据来自总体X的简单随机样本(X1,X2,?,Xn)，求未知参数?的最大似然估计量。（同步39页三、3） ???axa?1e??x,x?0X~f(x)??解：由 ?0,x?0?得总体X的样本(X1,X2,?,Xn)的似然函数 L(x1,x2,?,xn,?)?再取对数得： a??axi?1naa?1??xiie?(?a)exp[???xi]?xia?1 nai?1i?1nn 5
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