＝9，(a1·an)3＝3×9＝33，所以a1·an＝3，又Tn＝a1·a2·…·an－1·an＝an·an－1·…·a2·a1，所以T2n＝(a1·an)n，即7292＝3n，所以n＝12.
6．(2019·黄冈模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a6＝2a3，a4与2a6的等差3
中项为，则S5＝________．
2
解析：设{an}的公比为q(q>0)，因为a1a6＝2a3，而a1a6＝a3a4，所以a3a4＝2a3，所以a4＝2. 1
16[1－（）5]
211
又a4＋2a6＝3，所以a6＝，所以q＝，a1＝16，所以S5＝＝31.
221
1－
2答案：31
7．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝________． 解析：因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6
11
成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.所以a7＋a8＋a9＝.
88
1
答案： 8
8．(2019·安徽安庆模拟)数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为________．
2
an－?.由于数列{an－1}是等比数列，所以解析：由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ?λ??2
＝1，得λ＝2. λ
答案：2
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31
(2)若S5＝，求λ.
32
解：(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝
1
，故a1≠0. 1－λ
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan.
an＋1λ
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.
anλ－1
λ1
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
1－λλ－1
n－1
1?λ?
于是an＝??.
1－λ?λ－1?
?λ?n?λ?53131?λ?51
(2)由(1)得Sn＝1－??.由S5＝32得1－??＝32，即?λ－1?＝32.解得λ＝－1.
λ－1λ－1??????
10．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d＝
a4－a112－3
＝＝3， 33
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)． 设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得 20－12q＝＝＝8，解得q＝2.
b1－a14－3
3
b4－a4
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1. 从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)． (2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．
n
1－23
数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为＝2n－1.
21－2
3
所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.
2
[综合题组练]
1．(创新型)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 C．5盏
B．3盏 D．9盏
解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，
a1（1－27）
公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3，故选B.
1－2
2．(应用型)(2019·河南濮阳模拟)设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1，2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则q等于( )
11A．－ B. 2233C．－ D. 22
解析：选C.{bn}有连续四项在{－53，－23，19，37，82}中且bn＝an＋1.an＝bn－1，则{an}有连续四项在{－54，－24，18，36，81}中．
因为{an}是等比数列，等比数列中有负数项，则q<0，且负数项为相隔两项，所以等比数列各项的绝对值递增或递减．
按绝对值的顺序排列上述数值18，－24，36，－54，81，
－244363543813相邻两项相除＝－，＝－，－＝－，＝－，则可得－24，36，－54，
183－242362－54281是{an}中连续的四项．
32
q＝－或q＝－(因为|q|>1，所以此种情况应舍)，
233
所以q＝－.故选C.
2
3．在递增的等比数列{an}中，已知a1＋an＝34，a3·an－2＝64，且前n项和Sn＝42，则n＝________．
解析：因为{an}为等比数列， 所以a3·an－2＝a1·an＝64. 又a1＋an＝34，
所以a1，an是方程x2－34x＋64＝0的两根，
?a1＝2，?a1＝32，解得?或?
?an＝32?an＝2.
又因为{an}是递增数列，
?a1＝2，所以?
a＝32.?n
2－32q
由Sn＝＝＝42，
1－q1－q解得q＝4.
由an＝a1qn－1＝2×4n－1＝32， 解得n＝3. 答案：3
4．已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有Sn＝________．
an＋m
解析：因为＝an，
aman＋1
令m＝1，则＝an，
a1即
an＋1
＝a1＝2， an
am＋n＝an，则数列{an}的前n项和am
a1－anq
所以{an}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列， Sn＝
2（1－2n）1－2
＋
＝2n＋1－2.
答案：2n1－2
5．(应用型)(2019·成都市第一次诊断性检测)已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4. (1)证明数列{an＋4}是等比数列； (2)求数列{|an|}的前n项和Sn.
解：(1)证明：因为a1＝－2，所以a1＋4＝2.
因为an＋1＝2an＋4，所以an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)， 所以
an＋1＋4an＋4
＝2，
所以{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知an＋4＝2n，所以an＝2n－4. 当n＝1时，a1＝－2<0，所以S1＝|a1|＝2； 当n≥2时，an≥0.
所以Sn＝－a1＋a2＋…＋an＝2＋(22－4)＋…＋(2n－4)＝2＋22＋…＋2n－4(n－1)＝
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