现代控制理论第3课后习题答案

?p12?当?2??1时，特征矢量p2???

p?22?由Ap2??2p2，得??11??p12???p12? ???????41??p22???p22??p12?p22??p12?1?即? ，可令p2???

??2??4p12?p22??p22?1?2?11??1则T??，T????1?2?2???21?4?? 1??4?? eAt???11??e???2?2??03t?11??13t1?te?e0??24??22?????1e?t??1???e3t?e?t?2????4?13t1?t?e?e?44?

13t1?t?e?e?22?

第二种方法，即拉氏反变换法：

?s?1?1?sI?A???

?4s?1???sI?A??1??s?11? ??4s?1?s?3??s?1???1s?1???s?3??s?1? ???4???s?3??s?1???s?3??s?1??? ?s?1?s?3??s?1???1?11?????4?s?3s?1???

1?11??????2?s?3s?1??1?1?11???2?s?3s?1??? ???11???s?3s?1?13t1?te?e??12eAt?L?1??sI?A????2???e3t?e?t??第三种方法，即凯莱—哈密顿定理 由第一种方法可知?1?3，?2??1

13t1?t?e?e?44?

13t1?t?e?e22???13??13t3?t?e?e???0??13??e3t??44??e3t??44???t???? ?????1?1???t???1111e??e???1???????e3t?e?t????44???44???1?13t1?te?e?1011????1313????223t?teAt??e3t?e?t???e?e????41?4??01?4???4??4???e3t?e?t??13t1?t?e?e?44?

13t1?t?e?e22??

2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。

?2e?e（3）??t????t?2t?e?e?t?2t1?1?t3t?t3t?e?e?e?e??????22e?2e?4? ? （4）??t???12e?2t?e?t???e?t?e3te?t?e3t??????2??2t?t解：（3）因为 ??0????10???I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 01???4e?2t?2e?t??0?2???1?3? ?2t?t??4e?e?t?0??&?t?A??t?0??2e?t?2e?2t???t?2t??e?2e（4）因为??0????10??I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 ??01?1?t33t?e?e??11?44 ????13?41??e?t?e3t?22??t?0&?t?A??t?0?1?t33t??2e?2e???e?t?3e3t??

2-6 求下列状态空间表达式的解：

?01??0?&??xx?u ????00??1?y??1,0?x

?1?初始状态x?0????，输入u?t?时单位阶跃函数。

?1?解： A???01? ??00??s?1?sI?A???

0s???11?s?1??s?1???sI?A??2??s?0s??0??At?11?s2? ?1?s???1t??1?? ??t??e?L?sI?A??????01???0?因为 B??? ，u?t??I?t?

?1?x?t????t?x?0?????t???Bu???d?

0t?1t??1?t?1t????0??????d? ??????0?01??1??01??1??t?1?t?t????????0?1?d?

1?????1??t?1??t2??????2?

1???t??12?t?t?1? ??2??t?1??1y??10?x?t2?t?1

2

2-9 有系统如图所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=和1s，而u1和u2为分段常数。

u1K/(s+1)x1X+u2-1/sx21+X+y2 图 系统结构图 解：将此图化成模拟结构图

u1K-X∫x1u2-X∫x21+X+y2列出状态方程

& x1?ku1?x1 & x2?x1?u2

y?x2?2x1

??10??k0??u1?x???x??0?1??u?

10?????2??x?y??21??1?

?x2?则离散时间状态空间表达式为

x?k?1??G?T?x?k??H?T?u?k? y?k??cx?k??Du?k?

At由G?T??e和H?T???edtB得：

AtT0??10??k0??2?T C?A??B???0?1??1?

10??????e?L??sI?A??At?1?1??s?10???e?T??L???????T????1s???1?e?10?? 1??T0?0??k0??k?1?e?? ??????TT??0?1??k?T?1?e??T???H??eAtdt??0TT0?e?t??T?1?e0??k0??1?e?T?dt????1??0?1??T?1?e?T?k?1?e?1?0??e?10?当T=1时 x?k?1????u?k? ?x?k????1?11??1???1?e?ke? y?k?1???21?x?k?

?0.1?k1?e0????e?0.1?0?u?k? 当T=时 x?k?1????x?k????0.1?0.1?k?e?0.9??0.1?1??1?e?? y?k?1???21?x?k?

第三章习题

3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何 （1）系统如图所示：

u+-?a?x1y+-?x2+x3-+--?x4bcd图3.16 系统模拟结构图

解：由图可得：

x1??ax1?ux2??bx2x3??cx3?x2?x1?x1?x2?cx3 x4?x3?dx4y?x3????状态空间表达式为：

?????a1??x??x??0??2????x3??1????0???x4??y??001??0??x1??1??x??0??b00???2????u1?c0??x3??0?

?????01?d??x4??0?000?x由于x2、x3、x4与u无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与x3有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。 （3）系统如下式：

????1?0??x1??21???11?x??x???0?10??x???a0?u??2?????2???x3???00?2????x3????b0?? ?????c0d?y???x000??解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有a?0,b?0。

要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有c?0,d?0。 3-2时不变系统