2012年全国高中数学联赛预赛试题及答案

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n1?[,1]， n?221nn∵x?[,)时，fn'(x)?0；x?(,1)时，fn'(x)?0；

2n?2n?2当n?3时，

nn224nnn)()?∴fn(x)在x?处取得最大值，即an?( n?2n?2(n?2)n?2n?2?1?8,(n?1)?综上所述，an??．（10分）

n?4n,(n?2)n?2?(n?2)?4nn12n?（II）当n?2时，欲证，只需证明(1?)?4 n?22(n?2)(n?2)n212222n?Cn?()n

nnnn(n?1)4 ?1?2??2?1?2?1?4

2n∵(1?)?Cn?Cn?()?Cn?()?n012n所以，当n?2时，都有an?1成立．（15分）

(n?2)2（III）当n?1,2时，结论显然成立；当n?3时，由（II）知Sn? ?11??a3?a4?8161111????8165262?an ?1

(n?2)211111111??(?)?(?)??(?) 8164556n?1n?21117 ????．

8164167所以，对任意正整数n，都有Sn?成立．（20分）

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