§3 MMs排队模型

§3 M/M/s排队模型

一、单服务台模型(即M/M/1/?/? 或 M/M/1) 到达间隔: 负指数(参数为?:到达率)分布; 服务时间: 负指数(参数为?:服务率)分布; 服务台数: 1; 系统容量: 无限;

排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS. 1. 队长的分布

设pn?P{N?n} n?0,1,2,...为系统平稳后队长

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N的概率分布, 则由

??...?(1) Cn?n?1n?20, n?1,2,...(累积服务率)

?n?n?1...?1(2) p0?1(1??C) (无客的概率)

nn?1?(3) pn?Cnp0, n?1,2,... (有n客的概率)

及?n??,n?0,1,2,...和?n??,n?1,2,..., 并记

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??可得

n?(服务强度, 一般??1) ????Cn?????n, n?1,2,...

???n故有 pn??p0, n?1,2,...

其中 p0?1(1??C)?1nn?1?(1???n)

n?1?第 3 页 共 35 页

?1???n??????????1??. ?n?0??1???n因此 pn?(1??)?,n?0,1,2,....

?1?1无客的概率: p0?1??,

至少有一客的概率??服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率 如单位时间,??2,

??5,则

,即40%在忙.

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2. 几个主要指标

(1) 系统中平均顾客数=平均队长

(2) 系统中等待的平均顾客数=平均排队长 .

可以证明(见第二版P328的注释)

在M/M/1中, 顾客在系统中逗留时间服从参数为的负指数分布, 即

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