2015年湖北省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2015?湖北）i为虚数单位，i的共轭复数为（ ） i 1 A．B． ﹣i C． D． ﹣1 2．（5分）（2015?湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134石 B． 169石 C． 338石 D． 1365石 n3．（5分）（2015?湖北）已知（1+x）的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） 1110 2A． 12 B． C． D．2 9 2 2 4．（5分）（2015?湖北）设X～N（μ1，σ1），Y～N（μ2，σ2），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
2
2
607
A．B． P（X≤σ2）≤P（X≤σ1） P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） 对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t） C．D． 对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t） 5．（5分）（2015?湖北）设a1，a2，…，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：2222222（a1+a2+…+an﹣1）（a2+a3+…+an）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an），则（ ） A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 p是q的必要条件，但不是q的充分条件 B． p是q的充分必要条件 C． D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 6．（5分）（2015?湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）
=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ） A sgn[gB sgn[gC sgn[gD sgn[g（x）]=sgnx （x）]=﹣sgnx （x）]=sgn[f（x）] （x）]=﹣sgn[f（x）] 1
7．（5分）（2015?湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（ ）
A．B． C． D． P1＜P2＜P3 P2＜P3＜P1 P3＜P1＜P2 P3＜P2＜P1 8．（5分）（2015?湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ） A．对任意的a，b，e1＞e2 当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2 B． 对任意的a，b，e1＜e2 C． D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2 229．（5分）（2015?湖北）已知集合A={（x，y）|x+y≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ） 77 49 45 30 A．B． C． D． 10．（5分）（2015?湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t]=2，…，[t]=n同时成立，则正整数n的最大值是（ ） 3 4 5 6 A．B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．（5分）（2015?湖北）已知向量
⊥
，|
2
2
n
|=3，则?= ．
12．（5分）（2015?湖北）函数f（x）=4coscos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数
为 ． 13．（5分）（2015?湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m． 14．（5分）（2015?湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2． （1）圆C的标准方程为 ；
2
（2）过点A任作一条直线与圆O：x+y=1相交于M，N两点，下列三个结论： ①
=
； ②
﹣
=2； ③
+
=2
．
22
其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号） 选修4-1：几何证明选讲 15．（5分）（2015?湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则
= ．
选修4-4：坐标系与参数方程 16．（2015?湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已
知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），
l与C相交于A，B两点，则|AB|= ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（11分）（2015?湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜填入了部分数据，如表：
）在某一个周期内的图象时，列表并
ωx+φ x 0 π 2π 0 5 0 Asin（ωx+φ） ﹣5 （1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式； （2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（
18．（12分）（2015?湖北）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式 （2）当d＞1时，记cn=
3
，0），求θ的最小值．
，求数列{cn}的前n项和Tn．
19．（12分）（2015?湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； （2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
，求
的值．
20．（12分）（2015?湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率． 21．（14分）（2015?湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
4
22．（14分）（2015?湖北）已知数列{an}的各项均为正数，bn=n（1+）an（n∈N+），e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）=1+x﹣e的单调区间，并比较（1+）与e的大小；
x
n
n
（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（3）令cn=（a1a2…an），数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn．
答案： 607604+331、 解：i=i=i=﹣i， 它的共轭复数为：i． 故选：A． 2、 解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石， 3、 故选：B． n解：已知（1+x）的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， 可得，可得n=3+7=10． 5
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