数的开方与二次根式讲义
〖知识点〗
平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗
1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；
2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；
3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
内容分析
1．二次根式的有关概念 (1)二次根式
式子a(a?0)叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．
(2)最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．
(a)2?a(a?0);?a(a?0),a2?|a|?? 2．二次根式的性质 ??a(a?0);ab?a?b(a?0;b?0);a?bab(a?0;b?0).
3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法
二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 a?b?ab(a?0,b?0).
二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．
(3)二次根式的除法
二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．
1
〖考查重点与常见题型〗
1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。
2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。 3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。
考查题型
1．下列命题中，假命题是（ ）
（A）9的算术平方根是3 （B）16的平方根是±2
（C）27的立方根是±3 （D）立方根等于－1的实数是－1 2．在二次根式45， 2x， 11，
3
5， 4x
中，最简二次根式个数是（ ） 4
（A） 1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 （2）下列各组二次根式中，同类二次根式是（ ） 11
（A）6，32 （B）35，15 （C）12，
32
1
（D）8，3
2 3
a+abab－b
3. 化简并求值，＋，其中a＝2＋3，b＝2－3
ab+ba－ab
4．2＋1的倒数与2－3的相反数的和列式为 ，计算结果为 15．（－）2的算术平方根是 ，27的立方根是 ，
4方根是 ，
49
的平方根是 . 81
4
的算术平 9
考点训练：
2
1．如果x＝a，已知x求a的运算叫做 ，其中a叫做x的 ；已知a求x的运算叫做 ，其中x叫做a的 。
2．(－2 )的平方根是 ，9的算术平方根是 ， 是－64的立方根。 3323．当a<0时，化简∣a∣＋a ＋a ＝ 。
4．若5.062 =2.249，50.62 =7.114，x =0.2249，则x等于（ ） （A）5.062 （B）0.5062 （C）0.005062 （D）0.05062 5．设x是实数，则(2x＋3)(2x－5)＋16的算术平方根是（ ） （A）2x－1 （B）1－2x （C）∣2x－1∣ （D）∣2x＋1∣ 6．x为实数，当x取何值时，下列各根式才有意义： （1）－3x－2 （ ）（2）x＋5 （ ）（3）（4）
1
2
2
1
2 （ ） x
1
（ ）(5) （ ）（6）x ＋－x （ ）
1－x＋2 3
1－x
3－x3－x
＝ 成立的条件是（ ） x＋2 x＋2
2
7．等式
（A）－2
2
22 22 ) （2）ab(c＋1) （3）7
bbx
4－4 （b>1） （5）
aax－3y
322230.01×64
0.36×324
xy－6xy＋9y
（x>3y）
x
2
（6）(48 －60.5 )(43 ＋18 )－(23 －32 )
2
（7）已知方程4ｘ－2ａｘ＋2ａ－3＝0无实数根，
化简4ａ－12ａ＋9 ＋｜ａ－6｜
解题指导 1．下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3333
2．已知0.5 =0.794，5 =1.710，50 =3.684，则5000 等于（ ） （A）7.94 （B）17.10 （C）36.84 （D）79.4 3．当1 1 5 11 （2）7 －2 22 －1 （3）35 －34 34 －33 4ab－4ab＋4b （2b>a） a 1 ）－（3 11 － 75 ） 85 22322 22 a 6．化简： a－2b 7．计算：（32 ＋0.5 －2 8．已知a＝ 3－23＋222 ，b＝ ，求a－5ab＋b的值。 3＋23－2 13 × 52 262 10．化简： 332－23 9．计算：945 ÷3 11.设 5+1122 的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，求ａ＋ ａｂ＋ｂ的值。 25-1 独立训练 1．2 －3 的倒数是 ；2 －3 的绝对值是 。 2．8 的有理化因式是 ，x－y 的有理化因式是 。 11 3． 与 的关系是 。 x－x－1x－1＋x 3 4．三角形三边a＝750 ，b＝472 ，c＝298 ，则周长是 。 5．直接写出答案： 4xy88 （1）3 ·2 ÷30 ＝ ，（2） = ，（3）(3 －2)(3 ＋2)= 。 2x6．如果a －b 的相反数与a ＋b 互为倒数，那么（ ） （A）a、b中必有一个为0 （B）∣a∣＝∣b∣（C）a＝b＋1 （D）b＝a＋1 7．如果(2－x) ＋(x－3) ＝（x－2）＋（3－x），那么x的取值范围是（ ） （A）x≥3 （B）x≤2 （C）x>3 （D）2≤x≤3 8．把（a－b） 1－ 化成最简二次根式，正确的结果是（ ） a－b 13 ＋4x 的结果必为（ ） x 22（A）b－a （B）a－b （C）－b－a （D）－a－b 9．化简－3xx － （A）正数 （B）负数 （C）零 （D）不能确定 10．计算及化简： （1）（58 ·27 121 ·354 ） （2）18 ＋ －432－1 10 －2(2 ＋1)2 a－ab （a>b） 322 a－2ab+ab 23xx231xyxxa（3）（ － + ）÷ （4） 2y5xy322ya－bｘ＋31x-35 11.已知 ＝ ,求 ÷( －的值x－2)。 ｘ＋22x－4x－23+2+1ｘ＋2xy +y1ｘ- y+1 12.先化简,再求值:( + )+ x ＋y x - y x 其中x=2 - 3 ,y=2 + 3 2 13.设11－62 的整数部分为m，小数部分为n，求代数式m＋n＋ 的值。 n 14.试求函数ｔ＝2－－3ｘ＋12ｘ－9 的最大值和最小值。 15.如果ａ＋ｂ＋｜ｃ－1 －1｜＝4ａ－2 ＋2ｂ＋1 －4，那么ａ＋2ｂ－3ｃ的值 2 4
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