专题18附加题22题
回顾2020～2020年的考题，离散型随机变量的概率分布与数学期望是考查的重点，但考查难度不大，考查的重点是根据题意分析写出随机变量的分布列.求解过程往往和排列、组合和概率相结合.数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在数学证明中有着广泛的应用.
[典例1]
(2020·江苏高考)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，
ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.
(1)求概率P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．
[解] (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， 所以共有8C3对相交棱． 8C38×34
因此P(ξ＝0)＝2＝＝.
C126611
(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2， 其中距离为2的共有6对， 661
故P(ξ＝2)＝2＝＝，
C126611
2
2
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－－＝.
所以随机变量ξ的分布列为：
411161111
ξ P(ξ)
0 4 111 6 112 1 11616＋2
则其数学期望E(ξ)＝1×＋2×＝.
111111
本题考查概率分布、数学期望等基础知识．解题的关键是确定ξ的取值．
[演练1]
(2020·扬州期末)口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X.
(1)若取到红球再放回，求X不大于2的概率； (2)若取出的红球不放回，求X的概率分布与数学期望． 33×412
解：(1)∵P(X＝1)＝，P(X＝2)＝2＝，
774933
∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝.
49
A33
(2)∵X可能取值为1,2,3,4,5，P(X＝1)＝1＝，
A77A4A32
P(X＝2)＝2＝，
A77
A4A36A4A33
P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝4＝，
A735A735A4A31
P(X＝5)＝5＝.
A735∴X的概率分布列为：
4121
31
11
1
X P
1 3 72 2 73 6 354 3 355 1 3532631
∴E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.
77353535即X的数学期望是2. [典例2]
已知△ABC的三边长为有理数． (1)求证：cos A是有理数；
(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数． [证明] (1)由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知
AB2＋AC2－BC2
cos A＝是有理数．
2AB·AC(2)用数学归纳法证明cos nA和sin A·sin nA都是有理数． ①当n＝1时，由(1)知cos A是有理数， 从而有sin A·sin A＝1－cosA也是有理数．
②假设当n＝k(k≥1)时，cos kA和sin A·sin kA都是有理数． 当n＝k＋1时，由
cos(k＋1)A＝cos A·cos kA－sin A·sin kA，
2
sin A·sin(k＋1)A＝sin A·(sin A·cos kA＋cos A·sin kA) ＝(sin A·sin A)·cos kA＋(sin A·sin kA)·cos A，
由①及归纳假设，知cos(k＋1)A与sin A·sin(k＋1)A都是有理数． 即当n＝k＋1时，结论成立．
综合①②可知，对任意正整数n，cos nA是有理数．
本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力． [演练2]
(2020·常州)已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋N)．
证明：当n＝1时，a2＝1＋
3
＝，a1 * an1＋an(n∈N)．用数学归纳法证明：an * a1 所以n＝1时，不等式成立； 假设当n＝k(k∈N)时，ak * ak＋2－ak＋1＝1＋ ＝ ak?ak＋1ak＋1?－ak＋1＝1＋－?1＋? 1＋ak＋11＋ak＋1?1＋ak? ak＋1－ak>0， 1＋ak1＋ak＋1 所以n＝k＋1时，不等式成立． 综上所述，不等式an (2020·盐城二模)某班级共派出n＋1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有En种排法；入场后，又需从男生(含男生甲)和女生中各选一名代表到主席台服务，共有Fn种选法． (1)试求En和Fn； (2)判断ln En和Fn的大小(n∈N)，并用数学归纳法证明． [解] (1)由题意知En＝An·An＝(n！)， (2)因为ln En＝2ln n！，Fn＝n(n＋1)，所以ln E1＝0 ＝12，…，因此猜想；当n∈N时都有ln En 下面用数学归纳法证明2ln n！ ②假设当n＝k(k∈N)时，不等式成立，即2ln k！ 令f(x)＝ln x－x，x∈(1，＋∞)， * * * ** nn2 1－x因为f′(x)＝<0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减， x从而f(x) 本题考查排列组合等基础知识，考查数学归纳法的应用以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．这类问题以排列组合为主线，利用数学归纳法进行推理．利用导数研究函数的单调性证明ln(k＋1) [演练3] (2020·扬州期末)已知p(p≥2)是给定的某个正整数，数列{an}满足：a1＝1，(k＋1)ak＋1＝p(k－p)ak，其中k＝1，2,3，…，p－1. (1)设p＝4，求a2，a3，a4； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋ap. 解：(1)由(k＋1)ak＋1＝p(k－p)ak， 得 * ak＋1k－p＝p×，k＝1,2,3，…，p－1， akk＋1 a24－1即＝－4×＝－6，a2＝－6a1＝－6； a12a34－28＝－4×＝－，a3＝16； a233a44－3＝－4×＝－1，a4＝－16. a34 (2)由(k＋1)ak＋1＝p(k－p)ak， 得 ak＋1k－p＝p×，k＝1,2,3，…，p－1， akk＋1a2a1 p－1a3p－2 ，＝－p×，…， 2a23 即＝－p× akp－k－1 ＝－p×， ak－1k以上各式相乘得 akp－1k－1＝(－p)×a1 ∴ak＝(－p) k－1 k－1 p－2p－2 p－3…p－k＋1k！k！ k－1 ， × p－1p－3…p－k＋1 p！ k！p－k！ p－1！－p＝(－p)×＝ k！p－k！p× ＝－(－p) k－2 1kkk×Cp＝－2Cp(－p)，k＝1,2,3，…，p. p∴a1＋a2＋a3＋…＋ap 1112233pp＝－2[Cp(－p)＋Cp(－p)＋Cp(－p)＋…＋Cp(－p)] pp1p＝－2[(1－p)－1]． [专题技法归纳] 离散型随机变量的概率分布与数学期望是建立在传统的概率问题的基础之上的内容，高考新课程对这一内容的考查是B级要求，常以实际应用题的形式出现，与数学建模能力的考查结合在一起，考查学生的数学应用意识以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．解决这一类问题，一定要注意认真审题，不仅要能在弄清题意的基础上，迅速地寻找出正确的解题思路，还要能够规范地表述解题的过程．这些，需要在复习中引起足够的重视，注意做好针对性的训练，力求做到求解这一类问题时能够得心应手、准确无误． 1．有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一排组成. 第一排 第二排 第三排 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 A 11 B 12 C] 13 D 14 E 21 F 22 G 23 H 24 M 1 N 2 P 3 Q 4 设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数． (1)求P(ξ＝2)； (2)求随机变量ξ的分布列和它的数学期望． 解：(1)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1,2列分别总是1,2，即只能取表格第1,2列中的数字作为密码． 21∴P(ξ＝2)＝3＝. 48 (2)由题意可知，ξ的取值为2,3,4三种情形． 3
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