八、《直线与圆》变式题
1.（北师大版必修2 第93 页A组第1题）
已知点A(1,3),B(?1,33)，求直线AB的斜率. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
变式1：已知点A(1,3),B(?1,33)，则直线AB的倾斜角是（ ） A.
??2?5? B. C. D.
3636解：∵kAB?故选（C）.
?2?33?3，??3，∴tan???3，∵0????，∴?????33?1?111
?的值等于 . ab
变式2：（2006年北京卷）若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab?0)共线，则
C三点共线，解：∵A、B、∴kAB?kAC，∴
1110?2b?2，∴ab?2(a?b)，∴??. ?a?20?2ab2变式3：已知点A(1,?1),B(5,2)，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，求直线l的斜率
解：设直线l的倾斜角为?，则直线AB的倾斜角为2?，依题意有tan2??∴
2?(?1)3?，
5?142tan?31200，∴，∴或.由，tan???33tan??8tan??3?00?2??180?tan??2431?tan?1100得0???90，∴tan??0，∴tan??，∴直线l的斜率为.
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2（人教A版必修2 第111页A组第9题）
求过点P(2,3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程.
变式1：直线2x?3y?6?0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ） A.a?3,b?2 B.a?3,b??2 C.a??3,b?2 D.a??3,b??2 解：令x?0得y??2，∴直线在y轴上的截距为b??2；令y?0得x?3，∴直线在x轴上的截距为a?3，故选（B）.
变式2：过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为y?3?x?2或y?即x?y?1?0或3x?2y?0.
变式3：直线l经过点P(2,3)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l的方程.
3x，2解：依题意，直线l的斜率为±1，∴直线l的方程为y?3?x?2或y?3??(x?2)，即
x?y?1?0或x?y?5?0.
3.（人教A版必修2 第124页A组第3题）
求直线2x?5y?10?0与坐标轴围成的三角形的面积.
变式1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 . 解：设所求直线方程为y?4?k(x?5)，依题意有
14(?5)(5k?4)?5， 2k28或k?. 5522∴25k?30k?16?0（无解）或25k?50k?16?0，解得k?∴直线的方程是2x?5y?10?0或8x?5y?20?0.
变式2：（2006年上海春季卷）已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于
A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为 . 解：设直线AB的方程为y?1?k(x?2)(k?0)，
则S?OAB?1(2?1)(1?2k)?14?4k?1?1[4?(?4k)?(?1)]?1[4?2(?4k)?(?1)]?4，
2k2k2k2k当且仅当?4k??111即k??时取等号，∴当k??时，S?OAB有最小值4. k22变式3：已知射线l:y?4x(x?0)和点M(6,4)，在射线l上求一点N，使直线MN与l及
x轴围成的三角形面积S最小.
解：设N(x0,4x0)(x0?1)，则直线MN的方程为(4x0?4)(x?6)?(x0?6)(y?4)?0.令
25x05x10x10[(x0?1)?1]21100y?0得x?，∴S?()?4x0???10[(x0?1)??2] x0?12x0?1x0?1x0?1x0?1?10[2(x0?1)?11即x0?2时取等号，∴当N为（2，8）?2]?40，当且仅当x0?1?x0?1x0?1时，三角形面积S最小.
4.（北师大版必修2 第117页A组第10题）
求过点A(1,?4)，且与直线2x?3y?5?0平行的直线的方程.
变式1：（2005年全国卷）已知过点A(?2,m)和B(m,4)的直线与直线2x?y?1?0平行，
则m的值为（ ）
A.0 B.-8 C.2 D.10 解：依题意有
4?m??2，解得m??8，故选（B）. m?2变式2：与直线2x?3y?5?0平行，且距离等于13的直线方程是 . 解：设所求直线方程为2x?3y?m?0，则
m?52?322?13，解得m?18或m??8，
∴直线方程为2x?3y?18?0或2x?3y?8?0.
变式3：已知三条直线2x?3y?5?0,4x?3y?1?0,mx?y?0不能构成三角形，求实数m的取值集合.
解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，故m??24?24?或m?或m?1，∴实数m的取值集合是??,,1?. 33?33?
5.（北师大版必修2 第117页A组第7题）
若直线ax?2y?6?0和直线x?a(a?1)y?(a2?1)?0垂直，求a的值.
变式1：（1987年上海卷）若直线l1:ax?2y?6?0与直线l2:x?(a?1)y?(a2?1)?0平行但不重合，则a等于（ ）
A.-1或2 B.-1 C.2 D.
2 3a1a2?1解：∵l1//l2，∴k1?k2且b1?b2，∴???且?3??，解得a??1，故
2a?1a?1选（B）.
变式2：（2005年北京春季卷）“m?1”是“直线(m?2)x?3my?1?0与直线2(m?2)x?(m?2)y?3?0相互垂直”的（ ）
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解：由l1?l2?A1A2?B1B2?0?(m?2)(m?2)?3m(m?2)?0?m??2或m?知由m?1，2111可推出l1?l2，但由l1?l2推不出m?，故m?是l1?l2的充分不必要条22222件，故选（B）.
变式3：设直线ax?2y?6?0与圆x?y?2x?4y?0相交于点P、Q两点，O为坐
标原点，且OP?OQ，求m的值.
解：∵圆x2?y2?2x?4y?0经过原点O，且OP?OQ，∴PQ是圆的直径，∴圆心（1，-2）在直线ax?2y?6?0上，∴m??2.
6.（人教A版必修2 第110页A组第3题）
已知A(7,?4)，B(?5,6)，求线段AB的垂直平分线的方程.
变式1：已知A(7,?4)关于直线l的对称点为B(?5,6)，则直线l的方程是（ ） A.5x?6y?11?0 B.6x?5y?1?0 C.6x?5y?11?0 D.5x?6y?1?0 解：依题意得，直线l是线段AB的垂直平分线.∵kAB??的中点为（1，1），∴直线l的方程是y?1?516，∴kl???，∵AB6kAB56(x?1)即6x?5y?1?0，故选（B）. 5变式2：已知圆(x?7)2?(y?4)2?16与圆(x?5)2?(y?6)2?16关于直线l对称 ，则直线l的方程是 .
解：依题意得，两圆的圆心A(7,?4)与B(?5,6)关于直线l对称，故直线l是线段AB的垂直平分线，由变式1可得直线l的方程为6x?5y?1?0.
变式3：求点A(7,?4)关于直线l:6x?5y?1?0的对称点B的坐标.
?y?46???1??x?75解：设B(x,y).由AB?l，且AB的中点在直线l上，得?，解
x?7y?4?6??5??1?0?22?得??x??5，∴B(?5,6).
?y?6
7.（北师大版必修2 第118页B组第2题）
光线自点M(2,3)射到点N(1,0)后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程.
变式1：一条光线从点P(2,3)射出，经x轴反射，与圆(x?3)?(y?2)?1相切，则反射光线所在直线的方程是 .
解：依题意得，点P关于x轴的对称点P'(2,?3)在反射光线所在的直线上，故可设反射光
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