线所在直线的方程为y?3?k(x?2)，即kx?y?2k?3?0.由反射光线与圆相切得
5k?5434?1，解得k??或k??，∴反射光线所在直线的方程是y?3??(x?2)343k2?1或y?3??3(x?2)，即4x?3y?1?0或3x?4y?6?0. 4变式2：（2003年全国卷）已知长方形的四个顶点A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)和D(0,1)，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为?的方向射到BC上的点P依次反射到CD、DA1后，和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为(x4,0).若0?x4?2，则tan?的取值范围是（ ）
A.(,1) B.(,) C.(,) D.(,)
解：用特例法，取x4?1，则P1、P2、P4分别为BC、CD、DA、AB的中点，此3、P时tan??1312332152225311.依题意，包含tan??的选项（A）（B）（D）应排除，故选（C）. 22变式3：已知点A(?3,5),B(2,15)，在直线l:3x?4y?4?0上求一点P，使PA?PB最小.
解：由题意知，点A、B在直线l的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点A关于直线l的对称点A'，然后连结A'B，则直线A'B与l的交点P为所求.事实上，设点P'是l上异于P的点，则P'A?P'B?P'A'?P'B?A'B?PA?PB.
?y?53???1??x?3?x?34设A'(x,y)，则?，解得?，∴A'(3,?3)，∴直线A'B?y??3?3?x?3?4?y?5?4?0?22?8??3x?4y?4?08?x?的方程为18x?y?51?0.由?，解得?3，∴P(,3).
3?18x?y?51?0?y?3?
8.（人教A版必修2第144页A组 3）
求以N(1,3)为圆心，并且与直线3x?4y?7?0相切的圆的方程. 变式1：（2006年重庆卷）过坐标原点且与圆x?y?4x?2y?为（ ）
225?0相切的直线的方程211x B.y?3x或y??x 3311C.y??3x或y??x D.y?3x或y?x
33A.y??3x或y?解：设直线方程为y?kx，即kx?y?0.∵圆方程可化为(x?2)?(y?1)?225，∴圆22k?110110?心为（2，-1），半径为.依题意有，解得k??3或k?，∴直线方
232k2?1程为y??3x或y?1x，故选（A）. 3变式2：（2006年湖北卷）已知直线5x?12y?a?0与圆x2?2x?y2?0相切，则a的值为 .
解：∵圆(x?1)2?y2?1的圆心为（1，0），半径为1，∴
5?a5?1222解得a?8或a??18. ?1，
变式3：求经过点A(0,5)，且与直线x?2y?0和2x?y?0都相切的圆的方程.
?a2?(5?b)2?r2?解：设所求圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?r2，则?a?2b， 2a?b??r?55??a?1?a?5?2222解得?b?3或??b?15，∴圆的方程为(x?1)?(y?3)?5或(x?5)?(y?15)?125.
???r?5?r?55
9.（人教A版必修2 第144页 A组 第5题）
22求直线l:3x?y?6?0被圆C:x?y?2x?4y?0截得的弦AB的长.
变式1：（1999年全国卷）直线3x?y?23?0截圆x2?y2?4得的劣弧所对的圆心角为（ ） A.
???? B. C. D. 643222解：依题意得，弦心距d?3，故弦长AB?2r?d故截得的劣弧所对的圆心角为?AOB??2，从而△OAB是等边三角形，
?3，故选（C）.
22变式2：（2006年天津卷）设直线ax?y?3?0与圆(x?1)?(y?2)?4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a? .
解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得(a?1a2?1)2?(3)2?22，解得a?0.
变式3：已知圆C:(x?1)2?(y?2)2?6，直线l:mx?y?1?m?0. （1）求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点； （2）求直线l被圆C截得的弦长最小时l的方程.
解：（1）∵直线l:y?1?m(x?1)恒过定点P(1,1)，且PC?5?r?6，∴点P在圆
内，∴直线l与圆C恒交于两点.
（2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点P的直线l垂直于PC时，直线l被圆C截得的弦长最小，此时kl??1kPC?2，∴所求直线l的方程为y?1?2(x?1)即2x?y?1?0.
10.（北师大版必修2第117页A组 第14题）
已知直线3x?y?23?0和圆x2?y2?4，判断此直线与已知圆的位置关系. 变式1：（2006年安徽卷）直线x?y?1与圆x2?y2?2ay?0(a?0)没有公共点，则a的取值范围是（ ）
A.(0,2?1) B.(2?1,2?1) C.(?2?1,2?1) D.(0,2?1) 解：依题意有
a?12?a，解得?2?1?a?2?1.∵a?0，∴0?a?2?1，故选（A）.
22变式2：（2006年湖北卷）若直线y?kx?2与圆(x?2)?(y?3)?1有两个不同的交点，
则k的取值范围是 . 解：依题意有
2k?1k2?1?1，解得0?k?44，∴k的取值范围是(0,). 33变式3：若直线y?x?m与曲线y?解：∵曲线y?求实数m的取值范围. 4?x2有且只有一个公共点，
4?x2表示半圆x2?y2?4(y?0)，∴利用数形结合法，可得实数m的
取值范围是?2?m?2或m?22.
11.（北师大版必修2第101页例8）
判断圆C1:x?y?2x?6y?26?0与圆C2:x?y?4x?2y?4?0的位置关系，并画出图形.
变式1：（1995年全国卷）圆x?y?2x?0和圆x?y?4y?0的位置关系是（ ）
22222222A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
解：∵圆(x?1)2?y2?1的圆心为O1(1,0)，半径r1?1，圆x2?(y?2)2?4的圆心为半径r2?2，∴O1O2?5,r1?r2?3,r2?r1?1.∵r2?r1?O1O2?r1?r2，O2(0,?2)，
∴两圆相交，故选（C）.
变式2：若圆x2?y2?2mx?m2?4?0与圆x2?y2?2x?4my?4m2?8?0相切，则实数m的取值集合是 .
解：∵圆(x?m)2?y2?4的圆心为O1(m,0)，半径r1?2，圆(x?1)2?(y?2m)2?9的圆心为O2(?1,2m)，半径r2?3，且两圆相切，∴O1O2?r1?r2或O1O2?r2?r1，∴
(m?1)2?(2m)2?5或(m?1)2?(2m)2?1，解得m??12或m?2，或m?0或5m??5125，∴实数m的取值集合是{?,?,0,2}. 252变式3：求与圆x2?y2?5外切于点P(?1,2)，且半径为25的圆的方程.
解：设所求圆的圆心为O1(a,b)，则所求圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?20.∵两圆外切
11于点P，∴OP?OO1，∴(?1,2)?(a,b)，∴a??3,b?6，∴所求圆的方程为
33(x?3)2?(y?6)2?20.
12.（人教A版必修2 第145页B组第2题）
已知点A(?2,?2),B(?2,6),C(4,?2)，点P在圆x2?y2?4上运动，求PA?PB?PC的最大值和最小值.
22变式1：（2006年湖南卷）圆x?y?4x?4y?10?0上的点到直线x?y?14?0的最
222大距离与最小距离的差是（ ）
A.36 B.18 C.62 D.52
22解：∵圆(x?2)?(y?2)?18的圆心为（2，2），半径r?32，∴圆心到直线的距离
d?102?52?r，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
(d?r)?(d?r)?2r?62，故选（C）.
22变式2：已知A(?2,0)，B(2,0)，点P在圆(x?3)?(y?4)?4上运动，则PA2?PB2
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