初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案

得在整个区间[0,l(a)]上, 不等式f(x)?5都成立.

问: a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a). 证明你的结论.

164?16?解f(x)?a?x???3?,知maxf(x)?3?.

x?Raa?a?下面分两种情况讨论: (1) 3?2164?5,即?8?a?0,此时0?l(a)??,所以l(a)是方程ax2?8x?3?5的aa较小根. l(a)?(2) 3??8?64?8a21??.

2a16?2a?42164?5,即a??8,此时l(a)??.所以l(a)是方程ax2?8x?3??5的较大根. aal(a)??8?64?32a245?1???.

2a24?2a?420?25?11?, 故当且仅当a??8时, l(a)取最大值22当且仅当a??8时等号成立. 因

5?1. 230．已知双曲线x?2y?2的左右两个焦点为F1,F2,动点P满足PF1?PF2?4.

22(I)求动点P的轨迹E的方程;

(II)设过F2且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A,B两点, 问: 线段OF2上是否

存在一点D, 使得以DA,DB为邻边的平行四边形为菱形? 作出判断并证明.

x2?y2?1. 解 (I)由已知条件结合椭圆定义易得E的方程为4(II)假设存在满足条件的D, 设D(m,0),则0?m?3.

设过F2(22的)方程为l: y?k(x?3),k?0,代入椭圆方程, 得3,022(1?4k)x?83k?12k?4?0,设

A(x1,y1), B(x2,y2),则

83k2x1?x2?, 21?4k?23k2?y1?y2?k(x1?x2?23)?.

1?4k2以DA, DB为邻边的平行四边形为菱形, ?(DA?DB)?AB. 83k2?23k2,),DA?DB?(x1?m,y1)?(x2?m,y2)?(x1?x2?2m,y1?y2)?(1?4k21?4k283k2?23k233k233?2m??0,?m??. AB的方向向量为(1,k),?22211?4k1?4k1?4k4?2kk2?0, ?0?m?

33?3, 所以存在满足条件的D. 4