2
16．(2019·金版创新)已知函数f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋x，x∈(－1,1)，则
1＋2
g??＋g?－?的值为________． 22
答案 2
2?1??1??1?＋h?－1?＝解析 因为f(x)为奇函数，所以f?－?＋f??＝0，令h(x)＝，则h?2??2?x1＋2?2??2?????21＋2
＋
21＋
?1????1???
?1??1?＝2，所以g??＋g?－?＝2.
1?2??2?
2
xb17. 函数y＝F(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)＝a与幂函数g(x)＝x“拼接”而成．
(1)求F(x)的解析式； (2)比较a与b的大小；
(3)若(m＋4)<(3－2m)，求m的取值范围．
－b－bba 5
?1?x指数函数y＝??单调递减，
?2?
1
1?2?1?16?ba所以??
?2??2?11－－22
(3)由(m＋4) <(3－2m) ，得
m＋4>0，??
?3－2m>0，??m＋4>3－2m，
13
解得－ 32 ?13?所以m的取值范围是?－，?. ?32? 18．已知函数f(x)＝b·a(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)， xB(3,24)． (1)试确定f(x)； ?1?x?1?x(2)若不等式??＋??－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围． ?a? ?b? 解 (1)因为f(x)＝b·a的图象过点A(1,6)，B(3,24)， ??b·a＝6， ①所以?3 ?b·a＝24， ②? 2 x ②÷①得a＝4，又a>0且a≠1，所以a＝2，b＝3， 所以f(x)＝3·2. x?1?x?1?x?1?x?1?x(2)由(1)知??＋??－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立可化为m≤??＋??在x∈(－ ?a??b??2??3? ∞，1]时恒成立． 6 ?1?x?1?x令g(x)＝??＋??， ?2??3? 则g(x)在(－∞，1]上单调递减， 115 所以m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝， 2365??即实数m的取值范围是?－∞，?. 6?? 2－a19．(2019·南宁模拟)已知f(x)＝x(a∈R)的图象关于坐标原点对称． 2＋1(1)求a的值； (2)若存在x∈[0,1]，使不等式f(x)＋2－x<0成立，求实数b的取值范围． 2＋1解 (1)由题意知f(x)是R上的奇函数， 所以f(0)＝0，得a＝1. 2－1xb2 (2)设h(x)＝x＋2－x＝ 2＋12＋1即存在x∈[0,1]使不等式(2)＋2即存在x∈[0,1]使b>(2)＋2 xx2 x＋1 2 xxbxx2 ＋2－1－b， x2＋1 x＋1 由题设知存在x∈[0,1]使h(x)<0成立， x2 x＋1 －1－b<0成立， －1成立， 令t＝2，则存在t∈[1,2]使b>t＋2t－1成立， 只需b>(t＋2t－1)min. 令g(t)＝t＋2t－1，g(t)图象的对称轴为t＝－1， 则g(t)在[1,2]上单调递增， 所以当t∈[1,2]时，g(t)min＝g(1)＝2，所以b>2. 所以实数b的取值范围为(2，＋∞)． 20．定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M1a成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，已知函数f(x)＝x＋x＋ 421. (1)当a＝－1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 22 ?1?2x?1?x解 (1)当a＝－1时，f(x)＝??－??＋1(x<0)， ?2??2??1?x令t＝??，x<0， ?2? ?1?232 则t>1，y＝t－t＋1＝?t－?＋， ?2?4 ∴y>1，即函数f(x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)， ∴不存在常数M>0，使得|f(x)|≤M成立． ∴函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数． 7 (2)由题意知，|f(x)|≤3对x∈[0，＋∞)恒成立， 即－3≤f(x)≤3对x∈[0，＋∞)恒成立， 令t＝??1?2??x? ，x≥0，则t∈(0,1]． ∴－??2?t＋4t??? ≤a≤t－t对t∈(0,1]恒成立， ∴???－??? t＋4t?????? max≤a≤??2?t－t??? min. 设h(t)＝－???t＋4t??2? ，p(t)＝t－t，t∈(0,1]， ∵h(t)在(0,1]上递增，p(t)在(0,1]上递减， ∴h(t)在(0,1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)＝1. ∴实数a的取值范围为[－5,1]． 8
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