数列通项公式、求和的常见题型

数列通项公式、求和的常见题型

一、定义法

例题1：(1) 在数列{an}中，若a1?2，an?1?an?3, 则an=

(2) 在数列{an}中，若a1?2，an?1?3an, 则an=

练习若数列的递推公式为a1?3,

二、公式法

已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列?an?的通项an可用公式

11??2(n??)，则求这个数列的通项公式。 an?1an?S1????????????????n?1求解. an???Sn?Sn?1???????n?2例2．①已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?3,n?1．求数列?an?的通项公式.

②已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2n2?n?1，求数列?an?的通项公式.

练习数列?an?的前n项和Sn满足Sn? 三、归纳法：

11111111?,,?,? 例3、（１）,,,,? （2）,135724683(an?1),2(n?N?)求数列?an?的通项公式.

（３） 9，99，999，9999，… （4） 8，88 , 888 , 8888, … （1）an?118（2）an?(?1)n?1（3）an?10n?1（4）an?(10n?1) 2n?12n9- 1 - / 5

四、分组求和法：把整个式子拆分成等差数列和等比数列

例4、求和

（1） (a?1)?(a2?2)?(a3?3)???(an?n)

(2) (2?3?5?1)?(4?3?5?2)?(6?3?5?3)???(2n?3?5?n)

(3) 1

五、升次，错位相减法：含x的项是等比数列，系数是等差数列

练习求和

（Sn?3?11111?2?3?4???nn 24816213572n?1?2?3?4???n?1 222222n?3） 2n- 2 - / 5

六、累加法

累加法形如an?1?an?f(n)型，an?1　，an相邻两项系数相等，f(n)是一个常数，则直接用等差数列通项公式求出。

例6. 若在数列?an?中，a1?3，an?1?an?2n，求通项an。 练习

1、在数列?an?中，a1?2，an?1?an?cn，（c是常数，n＝1，2,3,…）,且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列。（1）求c的值；（２） 求数列?an?的通项公式。

（1） c=2 (2) an?n(n?1)?2

2、若在数列?an?中，a1?1，an?an?1?3n?1，（n?2，） (1) 求a1,a2 （a1?1,a2?13） （2）证明an

3、若在数列?an?中，求数列?an?的通项公式（an?3?an?1?an?n，a1?3，七、累乘法

形如an?1?f(n)an型的数列，f(n)是一个常数，则直接用等比数列通项公式求出例1之

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3n?1?

2n(n?1)2）

（２），f(n)是一个关于n的变量，根据递推公式，写出a1到an的所有的递推关系式，然后将它们左右两边分别或相乘，即可得到通项公式。

例6、在数列?an?中，a1?3，an?1?2nan（n?N*），求通项an。 练习

1、已知数列｛an｝满足a1?2，an?1?

2、数列｛an｝满足a1?1，(n?1)an?1?nan，求通项公式。an?

八、裂项相消法

1 n?1n?2an，求通项公式。（an?n(n?1)） n注意应用式子：

1111?(?)

n(n?k)knn?k1n?k?n?1k(n?k?n)

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练习：设数列?an?的前n项和Sn，点（n,

（１）求通项an；（２）设bn＝

答案：（１）an?2n?1 （２） Tn?九、待定系数法：

形如an?1=p an+q（p、q为非零常数 且p≠1），设an?1+k=p（an+k），通过待定系数法求出常数，得到新数列{an+k}，首项是a1?k,公比为p的等比数列

1例9、（1）数列{an}满足a1=1，an=an?1+1（n≥2），求数列{an}的通项公式。

21 2n?1Sn） (n?N?)均在函数y=x的图象上， n1，求数列的前n项和Tn

an?an?1

（2）数列{an}满足a1=1，3an?1?an?7?0,求数列{an}的通项公式。

（3）、已知数列?an?满足a1?1，且an?1?3an?2，求an．

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