高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题二 第3讲平面向量

第3讲 平面向量

【高考考情解读】 从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题常以填空题形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等．

1． 平面向量中的五个基本概念

(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. a

(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.

|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．

(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量． (5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影． 2． 平面向量的两个重要定理

(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底． 3． 平面向量的两个充要条件

若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 4． 平面向量的三个性质

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB→

|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2.

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， 则cos θ＝a·b

x1x2＋y1y2|a||b|＝x21＋y21x22＋y2. 2

考点一 平面向量的概念及线性运算

例

1 (1)(2013·江苏)设D，E分别是△ABC

12→→→

的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋

23λ2的值为________．

→→→→→→

(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0且|OA|＝|AB|，则向量CA在→

CB上的投影为________． 1

答案 (1) (2)3

2

→→→1→2→1→2→→

解析 (1)如图，DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)

23231→2→121

＝－AB＋AC，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.

63632→→→

(2)由OA＋AB＋AC＝0， →→→得AB＋AC＝AO.

又O为△ABC外接圆的圆心，OB＝OC， ∴四边形ABOC为菱形，AO⊥BC. →→

由|OA|＝|AB|＝2， 知△AOC为等边三角形．

π→→→

故CA在CB上的投影为|CA|cos∠ACB＝2cos ＝3.

6

(1)在一般向量的线性运算中，只要把其

中的向量当作字母，其运算就类似于代数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单．

(2)运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”．运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合．

→→ (1)已知△ABC和点M满足MA＋MB＋

→→→→

MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为________． →→→→→

(2)如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°， →→→→→→→→OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA＋μOB (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 答案 (1)3 (2)6