函数定义域的类型与求法
函数定义域优先原则：在求函数的解析式、值域、判断函数的奇偶性、单调区间、周期性以及应用题时，一定要优先考虑函数的定义域。 一．常规型
1． 分式的分母不能为零；
2． 偶次方根的被开方数大于或等于零；
3． 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； 4． 零次幂的底数不能为零；
5． 三角函数中正切函数y?tanx的定义域为?x|x?R,且x?k??数y?cotx的定义域为?x|x?R,且x?k?,k?Z?。
6． 如果函数是一些基本函数通过四则运算复合而成，那么其定义域就是使各部分都有意义的x值组成的集合。 例1．求函数y?例2．函数y?????,k?Z?，余切函2?x2?2x?15的定义域。
x?3?8lg?4?x?的定义域是 。 x?3例3．已知函数f(x)?11?x1?x)的定义域为N，则的定义域为M，g(x)?ln(M?N?（ ）
A.xx?1 例4．函数y???B.xx?1 C.x?1?x?1
????D.?
log2x?2的定义域是（ ）
A．?3,??? B.?3,??? C. ?4,??? D. ?4,??? 例5．函数y?A．?x|x?0?
x(x?1)?x的定义域为（ ）
B．?x|x?1? D．?x|0?x?1?
C．?x|x?1???0?
例7．函数f(x)?x?2?1log2(x?1)的定义域为 。
?x2?3x?4例8．函数y?的定义域为（ ）
xA．[?4,1] B．[?4,0) C．(0,1] D．[?4,0)(0,1]
1
例9．函数y?ln(x?1)?x?3x?42的定义域为（ ）
A．(?4,?1) B．(?4,1) C．(?1,1) D．(?1,1] 例10．下列函数中，与函数y?1 有相同定义域的是（ ） x1 C. f(x)?|x| D.f(x)?ex x A .f(x)?lnx B.f(x)?例11．函数f?x??1?lg?x?1?的定义域是 （ ） 1?xA．???,?1? B．?1,??? C．??1,1???1,??? D．???,??? 例12．若f?x??1log1?2x?1?2，则f?x?定义域为（ ）
A. ???1??1??1?,0? B.??,0? C. ??,??? D.?0,??? ?2??2??2?例13．函数f(x)?lg(x?1)的定义域是（ ）
A．(2，??) B．(1,??) C．[1，??) D．[2，??) 例14．函数y?1的定义域为（ ）
log0.5(4x?3)B ?,???
A. ?,1? 二．抽象函数型
?3??4??3?4??
C ?1,???
D. ?,1???1,???
?3??4?1． 已知函数y?f(x)的定义域为[a,b]，求函数y?f[g(x)]的定义域是指满足
g(x)?[a,b]的x的取值范围。
，2]，求函数f?3?x?的定义域。 例15．已知函数f(x)的定义域是[?12?x?x??2?，则f???f??的定义域为（ ） 2?x?2??x?例16．设f?x??lg A．??4,0???0,4? B.??4,?1???1,4? C.??2,?1???1,2? D.??4,?2???2,4? 2． 已知函数y?f[g(x)]的定义域为[a,b]，指的是x?[a,b]。
2
例17．已知函数f(x2)的定义域是??1,2?，求函数f(x)的定义域。 例19．已知函数f?x?1?的定义域为?0,1?，求函数f?3x?1?的定义域。
例20．已知函数f?x?1?的定义域为??2,3?，求函数f?2???1??的定义域。 x?三．逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围，特别是对于已知定义域为R，求参数的取值范围的问题常转化为恒成立问题来求解。 例21．已知函数y?例22．若函数y?mx2?6mx?m?8的定义域为R，求实数m的取值范围。 mx2?6mx?9的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．m?0或m?1 B.m?1 C.0?m?1 D.0?m?1 例23．已知函数y?lgx2?ax?1的定义域为R，求实数a的取值范围。
四．实际问题型
例24．用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积S与x的函数关系式。
例25．甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v?km/h?的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。
（1）把全程运输成本y(元)表示为速度v?km/h?的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。 五．参数型
例26．已知函数f?x?的定义域为?0,1?，求函数F?x??f?x?a??f?x?a?的定义域。 六．隐含型
例27．求函数y?log2?x?2x?3的单调区间。
???2?求函数解析式的常用方法
注意：求函数的解析式一定不要遗漏了求函数的定义域。
一．配凑法：根据具体解析式配凑出复合变量的形式，从而求出解析式。 1．已知f(x?11)?x3?3，求函数f(x)的解析式。 xx22．若f?x?3??x?2x?3，求函数f?x?的表达式。 3．已知f?x?4．已知fx
3??1?12??x?2?1，求fx?x?2?1的值。
????lgx，求f?2?的值。
3
二．换元法：就是通过引入一个或几个新的变量来代替原来的某些量的解题方法，它的基本功能是化难为易、化繁为简，以快速实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。使用换元法解题时，要注意换元后变元的范围。 5．已知f(2?1)?lgx，求函数f(x)的解析式。 x6．设f?2x?3??x2?x?1，求函数f?x?的解析式。
2?1?x?1?x7．已知f?，则f?x?的解析式可取为（ ） ??21?x1?x?? A．
x2x2xx?? B. C. D. 22221?x1?x1?x1?x8．已知f?1?cosx??sin2x，求函数f?x?的解析式。
三．待定系数法：已知所求函数解析式的类型，可先设出一个含有待定系数的代数式，然后利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程或者方程组，通过解方程或者方程组求出待定系数的值，或者消除这些待定系数，从而使问题得以解决。
9．已知函数f(x)是一次函数，且满足3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17，求函数f(x)的解析式。
10．已知f?x??3x?1，f?h?x???2x?3，h?x?为x的一次函数，求h?x?。
11．已知函数??x??f?x??g?x?，其中f?x?是x的正比例函数，g?x?是x的反比例函数，且????16，??1??8，求函数??x?的表达式。 12．若函数f?x?是二次函数，当x?等于19，求函数f(x)的解析式。
13．已知f?f?f?x????1?2x，求一次函数f(x)的解析式。
14．已知二次函数y?f1?x?的图像以原点为顶点，且过点?1,1?，反比例函数y?f2?x?的图像与直线y?x的两个交点间的距离为8，f?x??f1?x??f2?x?，求函数f?x?的表达式。 15．已知二次函数f?x?的最大值等于13，且f?3??f??1??5，求f?x?。 四．消元法：该法的实质是解函数方程或者方程组。
16．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)?3f(?x)?3x?1，求函数f(x)的解析式。 17．已知函数f(x)满足2f(x)?f()?3x,求函数f(x)的解析式。
?1??3?1时，有极大值25，又方程f?x??0的两根的立方和21x 4
18．已知f?x?是实函数，且x?0，又f?x?满足f???（ ）
A．2.5 B.3 C.3.5 D.4.5
?1??x?1f??x??2x，则f?2?的值是x19．若函数满足关系式f?x??f??lgx?1，求函数f?x?的表达式。
?1??x?20．已知2fx2?f????1??x?x?0?，求f?x?。 2??x??x?1?1，x?0,1，求函数f?x?的表达式。 ??1?x ○
x??21．若函数满足关系式f?x??f?备注：消元法求函数的解析式实质是利用了对称的思想。一般来说，当自变量互为相反数、
互为倒数或是函数具有奇偶性时，大多可用该法。 五．利用函数的性质求解析式：
22．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x?(??,0)时，f(x)?x2?2x，求当
x?[0,??)时，函数f(x)的解析式。
23．设f?x?是定义在??1,1?上的偶函数，f?x?、g?x?的图像关于直线x?1对称，且当
x??2,3?时，g?x??2a?x?2??4?x?2?，求函数f?x?的表达式。
3六．特殊值法：
24．已知f?0??1，f?a?b??f?a??b?2a?b?1?，求函数f?x?的表达式。
25．已知函数f(x)满足f(1)?1，对于任意的实数x,y都满足f?x?y??f?x??f?y??
2y?x?y??1，若x?N*求函数f(x)的解析式。
26．已知定义在R上函数f(x)满足条件：
1对任意x,y都有f(x)?f(y)?1?f(x?y)；○2对所有非零实数x，都有f(x)?xf() ○x(Ⅰ) 求证：对任意的实数x,f(x)?f(?x)?2； （Ⅱ) 求函数f(x)的解析式；
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