?0.5?0.1?0.4452?0.001?0.0548?0.2?0.0614。
（2）由贝叶斯公式，得
P(A2|B)?P(A2B)P(B)?P(A2)P(B|A2)P(B)?0.4452?0.0010.0614?0.007251
4. 解 （1）由归一性，有
1??????f(x)dx????ax210dx??ax???10a10，
由此解得 a?10。
（2）当x?10时，F(x)?0，当x?0时，有
x??xF(x)?P?X?x???f(x)dx??10x210dx??10xx?1?1010x，
由此得X的分布函数为
?0, x?10,? F(x)??x, x?10.?1?10?（3）由F(k)?12可得1?10k?12，由此解得k?20。
5. 解 （1）由归一性可得 1??????f(x)dx?k?????????e?(x?20)32002dx
(x?20)2?4022?k2??40??k12??40?edx
2??40（上积分的被积函数是正态分布N(20,402)的密度函数）
由此解得 k?12??40，即X~N(20,40)。
2（2）设A表示“一次测量中误差的绝对值不超过30cm”，
P(A)?P?X?30??P??30?X?30??F(30)?F(?30)
?30?20???30?20???????????(0.25)??(?1.25)
40?40?????(0.25)??(1.25)?1?0.5987?0.8944?1?0.4931，
由二项概率公式知，三次测量中至少有一次误差不超过30cm的概率为
p?1?(1?0.4931)?1?0.13025?0.86975。
36. 解 当x?0时，函数y?12mx单调可导，其反函数为
2x?h(y)?2ym，h?(y)?2m2?1?2?1?1y2?12my。
显然，当y?0时，FY(y)?P?Y?y??P?fY(y)?0。
mX??y??0，所以，当y?0时，?当y?0时，有
42ym32?2ym?2fY(y)?fX[h(y)]?h?(y)??3?e，
由以上两点知，Y的概率密度函数为
2y??42y2em?, y?0,?323fY(y)??m??
??0, y?0.
自测练习题B
1. （1）A (2)D (3)C (4) B (5) B
2. 解 设 Ai表示“第i个部件需要调整”，则由题意知
P(A1)?0.10，P(A2)?0.20，P(A3)?0.30
显然，X的可能取值为0，1，2，3，由Ai的相互独立性，可得
P?X?0??P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.9?0.8?0.7?0.504，
P?X?1??P?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3??P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.398，
P?X?2??P?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3??P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
?0.1?0.2?0.7?0.1?0.8?0.3?0.9?0.2?0.3?0.092，
P?X?3??P(A1A2A3)?0.1?0.2?0.3?0.006，
从而X的分布律为
0 X
0.504 P
3. 解 由题意
P?X?0.8??1 0.398 2 0.092 3 0.006 ???0.8f(x)dx?23?10.8412x(1?x)dx
12?(6x?8x?3x)0.8?1?0.9728?0.0272，
P?X?0.9?????0.9f(x)dx?23?10.9412x(1?x)dx
12?(6x?8x?3x)0.9?1?0.9963?0.0037.
4. 解 过点(0,1)且与x轴正向交角为?的直线方程为
y?1?tan??x，
该直线在x轴的截距X??cot?。在(0,?)上，x??cot?单调可导，其反函数为
???arccotx, (???x???)
由此可得
fX(x)?f?(?arccotx)?(arccotx)??112?1?x, ???x???。
5. 解 当x?0时，F(x)?P?X?x??0，当0?x?1时
F(x)?P?X?x??lx2l?x2（其中2l为圆周的长度），
当x?1时，F(x)?P?X?x??1。综合以上可得
?0, x?0,??xF(x)??, 0?x?1,
?2??1, x?1.6. 解 因y?1?3??3(1?y)，x是单调的，其反函数为 x?h(y)?(1?y)。又x?y32由此可得Y的概率密度函数为
fY(y)?fX[h(y)]?h?(y)?1?3(1?y)?23?[1?(1?y)]6?1?(1?y)?(1?y)26
(???y???)
7. 证明 由于F1(x),F2(x)都是分布函数，且?1,?2都是正数，故有 （1）F(x)??F1(x)??2F2(x)?0；
（2）由F1(x)及F2(x)的右连续性知，F(x)也是右连续的，即
x?x0lim?F(x)?lim???1F1(x)??2F2(x)??lim??1F1(x)?lim??2F2(x)
x?x0x?x0x?x0??1lim?F1(x)??2lim?F2(x)??1F1(x0)??2F2(x0)?F(x0)；
x?x0x?x0（3）F(??)??1F1(??)??2F2(??)??1??2?1，
F(??)??1F1(??)??2F2(??)??1?0??2?0?0， 0?F(x)??1F1(x)??2F2(x)??1??2?1。
由此可知，F(x)也是一分布函数。
证毕。
相关推荐：
loading