概率论 自测练习题参考答案

自测练习题B

1. （1）D （2）A （3）C （4）D （5）D

2. 解 因X服从参数为m,p的二项分布，故X的概率函数可表示为

xxm?x?Cmp(1?p), x?0,1,2,?,m, f(x,p)???0, 其它.参数p的似然函数为

?nmn??xi?xi?xi?i?1i?1?Cm??p?(1?p), xi?0,1,?,m,??L(p)?? ?i?1???0, 其它.nn当0?xi?m时，有

?n?n??xi?lnL(p)?ln??Cm????xi?lnp??mn???i?1??i?1?n?xi?1i??ln(1?p)， ?将上式对p求导，并令其导数为零，有

dlnL(p)dp?1pn??i?1?xi???mn?1?p?1n?i?1?xi??0 ?由此解得 p?1mx，所以，参数p的极大似然估计量为

?L?pXm。

3. （1）求?,?2的矩估计。因为

????EX??xf(x,?,?)dx?(t??)2?22212???1??0?(lnx??)2?22edx（令x?e）

[t?(???)]2?2222t?12????????eedt?t2????0?e???22?e?????e2dt?e???2，

EX2??????xf(x,?,?)dx?(t??)2?2222?x212??x2?(lnx??)2?2dx（令x?e）

22t?12???????ee2t?dt?e2??2?2????????[t?(??2?)2?2edt?e2??2?2

令

2????12?e?X， ?22??2???A2?e解之，得

??ln?矩X22矩B2?X，??2?ln?1???B2?， 2?X?其中B2?1ni2?X)为样本二阶中心矩。

?(Xni?1（2）求?,?2的极大似然估计量。设其一组样本观测值为x1,x2,?,xn，构造似然函数如下：

n?111?2??exp?(lnx??)??, xi?0, i?1,2,?,ni?n2?n?(2??)2?2?i?1?x L(?,?)???ii?1???0, 其它.对数似然函数为

lnL(?,?)??nln(2?)?2n2ln?21?n??ln??xi???i?1?2?n2?(lnxi?1i??)，

2对?,?2分别求偏导数，并令它们的偏导数为零，有

??ln?????ln??L(?,?)??L(?,?)??222?1n2??(lnxi?1i??)?01n222??n2?2

i?2(?)?(lnxi?1??)?02由此解得

??1ni?lnxni?12，?2?1ni?(lnxni?1??)，

2记lnX?1nilnX?ni?1，?,?的极大似然估计量为

?L?lnX??1ni?lnXni?1??，?2L1ni?(lnXni?1?lnX)。

24. 解 设 a是这批产品中不合格品的件数，b是合格品的件数，则有a?Rb，故不合格品率为

p?aa?b?bR(1?R)b?R1?R。

设X是随意抽取的一件产品中不合格品的件数，则X~B(1,p)，对于来自总体X的简单随机样本X1,X2,?,Xn，记?n?X1?X2???Xn，则R的似然函数为：

nnL(R)?p?i?1xin??(1?p)?xii?1?p?n?(1?p)n??n?R?????1?R??n?1?????1?R?n??n?R?nn(1?R)

对数似然函数为

lnL(R)??nlnR?nln(1?R)，

令

dlnL(R)dR??nR?n1?R?0，

由此解得R??nn??n，由已知，?n?X1?X2???Xn?k，故R的极大似然估计值为

??Rlkn?k5. 解 方差未知的正态总体均值的置信度为1??的置信区间为

。

SS??X?t(n?1)?,X?t(n?1)??2?2??，

nn??由题设知 n?16，x?3.05，s?0.16，??0.05，查表得t0.025(15)?2.1315，由此得该种零件的平均内径的置信度为0.95的置信区间为

0.160.16??3.05?2.1315?,3.05?2.1315????(2.965,3.135)。

44??标准差的置信度为1??的置信区间为

????(n?1)S22??2(n?1),(n?1)S?1??22??， ?(n?1)2?22由1???0.95，得

?2?0.025，查表，得?0.025(15)?27.488，?0.975(15)?6.262，

故由上公式可得该零件内径标准差的置信度为0.95的置信区间为

????15?3.0527.488,15?3.05??(1.290,2.703)。 ??6.262?251???0.95，??0.05，s?0.00244，6. 解 计算得 x?12.07，由已知，n?16，

222

查表，得?0.025(15)?27.488，?0.975(15)?6.262，由此得?的置信度为0.95的置信区间

为

?(n?1)S2(n?1)S2??15?0.0024415?0.00244?,2,?2?????(0.0013,0.0058)

?(15)?(15)27.4886.262?0.975?0.025??解 以X表示样本均值，则X?3.46n~N(0,1)，从而

P?1.4?X?5.4??P??X?3.4X?3.4?2?P?6??n?26?n? ??n??2???1?0.95

?3?????n?n由此得 ???1.96，所以 n?35。即样本容量?0.975，查标准正态分布表，得??3?3??n至少应取35。