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________．
2?2
解析：由f(x)＝x3＋f′??3?x－x， 2?可得f′(x)＝3x2＋2f′??3?x－1， 2??2?2＋2f′?2?×2－1， ∴f′?＝3×?3??3??3?32?32解得f′?＝－1，即f(x)＝x－x－x. ?3?2??2?3?2?2222则f?＝－－＝－， ?3??3??3?327
2??2故函数f(x)的图象在?3，f??3?处的切线方程是
??
222
x－?，即27x＋27y＋4＝0. y＋＝－??3?27答案：27x＋27y＋4＝0
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2013·永康模拟)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是( )
解析：选D 据函数的图象易知，x<0时恒有f′(x)>0，当x>0时，恒有f′(x)<0. π??－π?与f?π?的大小关系是( ) 2．若函数f(x)＝cos x＋2xf′?，则f?6??3??3?ππ
－?＝f?? A．f??3??3?ππ－? －?>f?? B．f??3??3?D．不确定 π?解析：选C 依题意得f′(x)＝－sin x＋2f′??6?， π?π?π?， ∴f′?＝－sin ＋2f′?6??6?6π?1f′??6?＝2，f′(x)＝－sin x＋1， 学习必备 欢迎下载 ππ －，?时，f′(x)>0， ∵当x∈??22?ππππππ －，?上的增函数，注意到－<，于是有f?－? C. 2 解析：选C f′(x)＝3x2－2tx－4， 1 f′(－1)＝3＋2t－4＝0，t＝. 2 4．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A．y＝3x－1 C．y＝3x＋1 B．y＝－3x－1 D．y＝－2x－1 B．－1 D．2 解析：选A 依题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为y′|x＝0，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1. 5．(2013·大庆模拟)已知直线y＝kx与曲线y＝ln x有公共点，则k的最大值为( ) A．1 2C. e 1B. eD.2 e 解析：选B 从函数图象知在直线y＝kx与曲线y＝ln x相切时，k取最大值．y′＝(ln x)′1111 x－?，又切线过原点(0,0)，代入方程解得ln k＝＝k，x＝(k≠0)，切线方程为y－ln ＝k?xkk?k?1 ＝－1，k＝. e 6．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2.下面的不等式在R上恒成立的是( ) A．f(x)>0 C．f(x)>x B．f(x)<0 D．f(x) 11 解析：选A 由已知，令x＝0得2f(0)>0，排除B、D两项；令f(x)＝x2＋，则2x2＋＋ 421111 x2＋?′＝4x2＋>x2，但x2＋>x对x＝不成立，排除C项． x?4??242 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 学习必备 欢迎下载 7．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________. 解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)， ∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2. ∴f′(x)＝2x－4.∴f′(0)＝－4. 答案：－4 8．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________． 解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0. 答案：x－y－2＝0 9．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． 解析：曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，即f′(x)＝0有正实数解． 11 又∵f′(x)＝5ax4＋，∴方程5ax4＋＝0有正实数解． xx∴5ax5＝－1有正实数解．∴a<0. 故实数a的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) ax－6 10．已知函数f(x)＝2的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求y x＋b＝f(x)的解析式． 解：由已知得，－1＋2f(－1)＋5＝0， ∴f(－1)＝－2，即切点为(－1，－2)． ?ax－6?′?x2＋b?－?ax－6??x2＋b?′ 又f′(x)＝ ?x2＋b?2－ax2＋12x＋ab＝， 22 ?x＋b? 学习必备 欢迎下载 ??∴?－a－12＋ab1 ＝－，?2??1＋b? 2 －a－6 ＝－2，1＋b ??a＝2，解得? ??b＝3. ∴f(x)＝ 2x－6 . 2 x＋3 11．如右图所示，已知A(－1,2)为抛物线C：y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x＝a(a<－1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D. (1)求直线l1的方程； (2)求△ABD的面积S1. 解：(1)由条件知点A(－1,2)为直线l1与抛物线C的切点． ∵y′＝4x，∴直线l1的斜率k＝－4. 所以直线l1的方程为y－2＝－4(x＋1)， 即4x＋y＋2＝0. (2)点A的坐标为(－1,2)， 由条件可求得点B的坐标为(a,2a2)， 点D的坐标为(a，－4a－2)， 1 ∴△ABD的面积为S1＝×|2a2－(－4a－2)|× 2|－1－a|＝|(a＋1)3|＝－(a＋1)3. 12．如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，…，n)．
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