2018-2019学年高中一轮复习理数：课时达标检测(四十) 直线与方程

(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．

解：(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，

11

a2＋?2＋，因为a2≥0，所以b≤0. 即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－?2?4?又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.

故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]． (2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，

11

a＋?≥2，当且仅当a＝±显然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝?1时等号成立，因此|ab|?a?a的最小值为2.

2．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)． (1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．

??2x＋y＋1＝0，

解：(1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由?得

?x＋y－1＝0，??x＝－2，?

? ?y＝3，?

所以直线l恒过定点(－2,3)． (2)由(1)知直线l恒过定点A(－2,3)，

当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大． 又直线PA的斜率kPA＝

4－31

＝， 3＋25

所以直线l的斜率kl＝－5.

故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)， 即5x＋y＋7＝0.

3．过点P(4,1)作直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点． (1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． xy

解：设直线l：a＋b＝1(a＞0，b＞0)， 41

因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.

ab41

(1)因为a＋b＝1≥2

414·＝， abab所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立， 1

所以当a＝8，b＝2时，S△AOB＝ab最小，

2

xy

此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.

8241

(2)因为a＋b＝1，a＞0，b＞0，

?4＋1?＝5＋a＋4b≥5＋2 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·?ab?ba

当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，

a4b

·＝9， ba

xy

所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.

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