1、机械建模分析
图7-1 球杆系统示意图
钢球在导轨加速滚动的力是小球的重力在同导轨平行方向上的分力与摩擦力的合力。建立钢球滚动的动力学方程，钢球在导轨上滚动的加速度：
a?gsin???gcos?
(1)
其中μ为钢球与导轨之间的摩擦系数，而α为导轨与水平面之间的夹角。
为了简化系统模型，考虑到摩擦系数比较小， 摩擦力可以忽略不计，因此，其基本的数学模型可转换成如下方程：
??mgsin? m?x当α<<1时，线性化处理后，得到如下传递函数
(2)
x(s)g?2 ?(s)s其中x(s)为钢球在导轨上的位置函数。
(3)
在实际控制过程中，导轨的仰角?是由电动机的转角输出来实现的。影响电动机转角?和导轨仰角?之间关系的主要因素就是齿轮的减速比和非线性。因此，我们把该模型进一步简化：
?(s)?b??(s)
把（4）式代入（3）式，可以得到另一个模型：
(4)
x(s)c?2 ?(s)s其中c是一个包含了b和g的影响的参数。
(5)
由以上推导得知，球杆系统可以简化为一个二阶系统。
2、电机建模分析
在这部分，学习对直流伺服电动机建模。电机产生的转矩是和电枢电流成正比例的：T?K2ia
(6)
K2为电机的力矩常数，ia为电枢电流。
当电枢旋转时在电枢中感应出一定的电压，它的大小与磁通和角速度的乘积成正比，当磁通不变时，感应电压
eb将与角速度d?/dt成正比：
eb?K3d? (7) dteb为反电势，K3为电机的反电势常数，?则为电机的角位移。
电枢控制式直流伺服电机的速度由电枢电压ea控制（ea?K1ev为放大器的输出）。电枢电流的微分方程为：
Ladia?Raia?eb?ea (8) dtdiad??Raia?K3?K1ev (9) dtdt即：La电机力矩的平衡方程为：J0d2?dt2?b0d??T?K2ia (10) dtJ0为电机、负载和折合到电机轴上的齿轮传动装置组合的转动惯量， b0为电机、负载和折合到电机轴上的齿轮传动装置组合的粘性摩擦系数。
所以，电机轴位移和误差信号之间的传递函数为：
K1K2?(s) (11) ?Ev(s)s(Las?Ra)(J0s?b0)?K2K3s伺服系统的原理框图如图2所示，
图7-2 伺服系统原理图
如果定义齿轮的传动比为n，即：C(s)?n?(s) 那么系统的前向通路的传递函数可以表示为：
G(s)?C(s)?(s)Ev(s)K0K1K2n (12) ??(s)Ev(s)E(s)s[(Las?Ra)(J0s?b0)?K2K3]因为La通常比较小可以忽略不计，所以前向通道的传递函数为：
G(s)?K0K1K2nK0K1K2n/Ra? (13) 2K3s[Ra(J0s?b0)?K2K3]J0s2?(b0?KR)sa式中 (b0?K2K3/Ra)s一项表明，电机的反电势有效地增大了系统的粘性摩擦。转动惯量J0和粘性摩擦系数
(b0?K2K3/Ra)都是折合到电机轴上的物理量。当J0和(b0?K2K3/Ra)乘以1/n2时，转动惯量和粘性摩擦系
数都被折合到输出轴上。如果引进一些新定义的参量：
J?J0/n2=折合到输出轴上的转动惯量。
B?[b0?(K2K3/Ra)]/n2=折合到输出轴上的粘性摩擦系数。 K?K0K1K2n/Ra
于是，由上述方程（13）确定的传递函数G(s) 可以简化为：
G(s)?即：
K
Js2?BsG(s)?Km (14)
s(Tms?1)式中 Km?RaJ0KJ， Tm? ?BBRab0?K2K3从上面（13）和（14）两个方程可以看出，传递函数中均包含1/s项，因此该系统具有积分的性质。而且在（14）中我们还可以注意到，当Ra和J0都比较小时，电机的时间常数也比较小。对于小的J0，当电阻Ra减小的时候，电机的时间常数趋近于零，因此电机可近似为一个积分器。在控制系统中，电动机的控制模型既然可以简化为一个理想的积分器，那么根据电动机的输入和输出我们可以写出电动机的控制模型。电动机的输入R(s)是控制电压U，在球杆控制系统中控制电压通过电机驱动器输入到电动机。电动机的输出C(s)就是电机的转角?。于是有如下电动机的模型：
G(s)?C(s)Km ?R(s)s (15)
Km是一个和电动机本身有关的系数。
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