2016年福建省高中数学竞赛
暨2016年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2016年5月22日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
??1．若函数f(x)?3cos(?x?)?sin(?x?)（??0）的最小正周期为?，则f(x)在区间
63上的最大值为 。
【答案】 23 ?????【解答】∵ f(x)?3cos(?x?)?sin(?x?)?3cos(?x?)?sin(?x??)
63662?3cos(?x?)?cos(?x?)?4cos(?x?)，且f(x)的最小正周期为?。
666??? ∴ ??2，。又时，，
∴ ，即x?0时，f(x)在区间上取最大值23。
2．已知集合A??xx2?3x?2?0?，，若A?B，则实数a的取值范围为 。
【答案】
【解答】A??x1?x?2?。由，得。 ∴ a?0时，B??xx?3?。满足A?B。
??。满足A?B。 ?1?a?0时，由，得，B??xx?3或x?3?a?1??。 a?0时，由，得，B??x3??x?3?。由满足A?B，得，
a??综合得，。a的取值范围为。
3．函数f(x)?x2lnx?x2?2零点的个数为 。 【答案】 1
【解答】 ∵ f?(x)?2xlnx?x?2x?x(2lnx?3)。
0?x?e?32时，f?(x)?0；x?e?32?32时，f?(x)?0。
?32e∴ f(x)在区间(0，)上为减函数，在区间(e，??)上为增函数。
又0?x?ef(e?32?3231时，lnx?1???1???0，f(x)?x2(lnx?1)?2?0；
223)?e?3(??1)?2?0，f(e)?2e2?2?0。
2∴ 函数f(x)的零点个数为1。
或：作图考察函数y?lnx与图像交点的个数。
4．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，二面角B?A1C?D的大小为 。 【答案】 120?
【解答】设正方体棱长为1。作BE?A1C于E，连结DE。 由正方体的性质知，△A1DC≌△A1BC。
∴ DE?A1C， ?BED为二面角B?A1C?D的平面角，且，BD?2。
22??21∴ cos?BED?33??。
2222??33D1A1DAD1A1DABEB1C1C（第B4题）
C1B1C∴ 二面角B?A1C?D的大小为120?。
或：设AC、BD交于点O，由?BEO?60?，得?BED?120?。
5．在空间四边形ABCD中，已知AB?2，BC?3，CD?4，DA?5，则
AC?BD? 。
【答案】 7
【解答】 以AB，BC，CD为基底向量。则AD?AB?BC?CD。 ∴ AD?(AB?BC?CD)2，
即 AD?AB?BC?CD?2AB?BC?2AB?CD?2BC?CD。 ∴ 25?4?9?16?2(AB?BC?AB?CD?BC?CD)， ∴ AB?BC?AB?CD?BC?CD??2。 ∴ AC?BD?(AB?BC)?(BC?CD)
?AB?BC?AB?CD?BC?CD?BC?BC??2?9?7。
22222ABCD
6．已知直线l过椭圆C：的左焦点F且交椭圆C于A、若OA?OB，O为坐标原点，B两点。则点O到直线AB的距离为 。
【答案】
6 3【解答】 F(?1，0)。显然x轴不符合要求。设直线AB方程为x?ty?1。 由，得(t2?2)y2?2ty?1?0 ………… ①
y1)，B(x2，y2)，则，①的判别式大于0。设A(x1，。
由OA?OB，得
?(t2?1)2tx1x2?y1y2?(ty1?1)(ty2?1)?y1y2?(t?1)y1y2?t(y1?y2)?1?2?t?2?1?0。
t?2t?22∴ ?(t2?1)?2t2?t2?2?0，。 ∴ 点O到直线AB的距离为。
7．已知z?C，若关于x的方程（i为虚数单位）有实数根，则复数z的模z的最小值为 。
【答案】 1
【解答】设z?a?bi（a，b?R），x?x0是方程的一个实数根。
32则x0?2(a?bi)x0??i?0。
43?2?x0?2ax0??0∴ ?4???2bx0?1?0①②。
由②得，，代入①，得，3b2?4ab?1?0，。 ∴ z23b2?12251353?a?b?()?b2?b2?????1，当且仅当时等号成立。 24b1616b88822∴ z的最小值为1。 （，或，，即）。
8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为 。（用数字作答）
【答案】 216
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