40 题号：03040 第03章 题型：填空题 难易程度：适中
试题: 一飞轮的转动惯量为J，t?0时角速度为?0，此后飞轮经历一制动过程，受到的阻力矩的大小与角速度成正比，即M??k?，式中k为正的常量．当??飞轮的角加速度为 ． 答案: ????03时，
k?0 3J 41 题号：03041 第03章 题型：计算题 难易程度：适中 试题: 一条缆索绕过一个定滑轮拉动升降机，如图所示．滑轮的半径为r?0.5m，如果升降机从静止开始以加速度
a?0.4m?s?2匀加速上升，求：
?v
（1）滑轮的角加速度；
（2）开始上升后t = 5s末滑轮的角速度； （3）在这5秒内滑轮转过的圈数；
（4）开始上升后t??1s末滑轮边缘上一点的加速度（假定缆索和滑轮之间不打滑）．
答案: 为了图示清晰，将滑轮放大为如图所示．
（1）由于升降机的加速度和滑轮边缘上的一点的切向加速度相等，所以滑轮的角
aa加速度为?????0.8rad?s?2
rr（2）由于?0?0，所以5秒末滑轮的角速度为???t?4.0rad?s
?1?a
（3）在这5秒内滑轮转过的角度为??所以在这5秒内滑轮转过的圈数为N?（4）结合题意，由图可以看出
a??a?0.4m?s?2
12?t?10rad 2?a??a??o ?a
10?1.6圈 2? r?an an?r?2?r?2t2?0.32m?s?2
由此可得滑轮边缘上一点在升降机开始上升后t??1s时的加速度为
2a??an?a?2?0.51m?s?2
这个加速度的方向与滑轮边缘的切线方向的夹角为
??tan?1???an?0.32?0??tan?1????38.7 ??0.4??a?? 42 题号：03042 第03章 题型：计算题 难易程度：难 试题: 一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量分别为m和M的物体，且M?m．滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘，其质量为m?，半径为R，转轴垂直于盘面通过盘心，如图所示．由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到了摩擦阻力矩M阻的作用．设绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动．求物体的加速度及绳中的张力．
答案: 由于滑轮有质量，所以不得不考虑滑轮的转动惯性；在转动过程中滑轮还受到阻力矩的作用，在滑轮绕轴作加速转动时，它必须受到两侧绳子的拉力所产生的力矩，以便克服转动惯性与阻力矩的作用，因此滑轮两侧绳子中的拉力一定不相等．设两侧绳子中的拉力分别为T1和T2，则滑轮及两侧物体的受力如图所示，其中T1?T1?，T2?T2?（作用力与反作用力大小相等）．
因为M?m，所以左侧物体上升，右侧物体下降．设其加速度分别为a1和a2，据题意可知，绳子不可伸长，则a1?a2，令它们为a．滑轮以顺时针转动，设其角加速度为?，则摩擦阻力矩M阻的指向为逆时针方向，如图所示．
对于上下作平动的两物体，可以视为质点，由牛顿第二运动定律得
?对m：T1?mg?ma （1） ??对M：Mg?T2?MaGma2GMmR m? M N M阻o? T1?a1m? T2 T1T2?
滑轮作定轴转动，受到的外力矩分别为T2?R和T1?R及M阻（轴对滑轮的支持力N通过了转轴，其力矩为零）．若以顺时针方向转的力矩为正，逆时针转的方向为负，则由刚体定轴转动的转动定律得
?1?T2R?T1R?M阻?J???m?R2?? （2）
?2?据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动，所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的加速度相等，即
a?a??R? （3）
联立（1）、（2）、（3）三个方程，得
(M?m)g?a?M阻R m?M?m?2(2M?mM阻m?)mg?2R
m?M?m?2MM阻m?)Mg?2R
m?M?m?2T1?m(g?a)?(2m?T2?M(g?a)?
43 题号：03043 第03章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 求长为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量．（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴；（2）对于通过棒的中点与棒垂直的轴． 答案: （1）如图所示，以过A端垂直于棒的
oo?为轴，沿棒长方向为x轴，原点在轴上，在
o?棒上取一长度元dx，则这一长度元的质量为
mdm?dx，所以
LL?m?1J端点??x2dm??x2?dx??mL2
m0?L?3
A ox dx dm B x L
（2）同理，如图所示，以过中点垂直于棒的oo?为轴，沿棒长方向为x轴，原点在轴上，在棒上取一长度元dx，因此
J中点??xdm??m2L2L?2o?A L2x?m?1x?dx??mL2 ?L?122 dx oLdm 2B x 由此可见，对于同一均匀细棒，转轴的位置不同，棒的转动惯量不同．
44 题号：03044 第03章 题型：计算题 难易程度：容易
试题: 试求质量为m、半径为R的匀质圆盘对垂直于平面且过中心轴的转动惯量．
答案: 已知条件如图所示．由于质量连续分布，所以
J??Rdm??m22?R0?m?R?dl??mR2 ?2?R?2o R dm
45 题号：03045 第03章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 试求质量为m、半径为R的匀质圆环对垂直于平面且过中心轴的转动惯量． 答案: 已知条件如图所示．由于质量连续分布，设圆盘
m的厚度为l，则圆盘的质量密度为??2．因圆盘可以
?Rl看成是许多有厚度的圆环组成，所以
R1J??r2dm??r2???2?r?ldr???R4l?
m02dr R or l
代入圆盘的质量密度，得J?1mR2 2 46 题号：03046 第03章 题型：计算题 难易程度：较难
试题: 如图所示，一质量为M、半径为R的匀质圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动．圆盘上绕有质量可不计的绳子，绳子一端固定在滑轮上，另一端悬挂一质量为m的物体，问物体由静止落下h高度时，物体的速率为多少？
MR 答案: 法一 用牛顿第二运动定律及转动定律求解．
受力分析如图所示，对物体m用牛顿第二运动定律得
mg?T?ma （1）
?
h 对匀质圆盘形滑轮用转动定律有
T?R?J? （2）
R ?M TT? 物体下降的加速度的大小就是转动时滑轮边缘上切向加速度，所以
a?R? （3）
a G h 又由牛顿第三运动定律得
T?T?
（4）
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