角
【知识纵横】 角,既可以用静止的眼光来观察,也可以用运动的眼光来看待.具有公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位置所成的图形,称为角. 角也是几何学的基本图形之一,与角相关的知识有:周角、平角、直角、锐角、钝角、角平分线、数量关系角(如余角、补角)、位置关系角(如邻补角、对顶角)等概念及关系. 解与角有关的问题,类似于解与线段相关的问题,常常用到重要概念、分类的思想、代数化的 观点等知识与方法. 【例题求解】 例 1.如图 1 是一个 3×3 的正方形,则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9 的度数是 .
思路点拨 除∠3=∠5=∠7=45°外,其他各角的度数无法求出,故不能顺序求和.考虑应用加法 的交换律、结合律,关键是对图形进行恰当的处理. 图 1 图 2
例 2.如图 2.A、O、B 在一条直线上,∠1 是锐角,则∠1 的余角是(
).
A. ∠2 一∠l
1
2
B. ∠2 一 ∠1
1 3 2 2 C. (∠2 一∠l) D. (∠2+∠1)
1 1 3 2 思路点拨 ∠1 的余角表示为 90°一∠1,化简这个代数式,直至与选择项相符为止. 例 3.已知∠1 和∠2 互补,∠3 和∠2 互余,求证∠3= (∠l 一∠2).
1 2 思路点拨 依据互补、互余的概念得到含∠l、∠2、∠3 的两个等式,盯住所要达到的目的,恰当处理两个等式.
例 4.如图 3,已知∠AOB 与∠BOC 互为补角,OD 是∠AOB 的平分线,OE 在∠BOC 内,∠BOE= EOC,∠DOE= 72°,求∠EOC 的度数.
1 2 ∠
图 3
思路点拨 设∠AOB=x 度,∠BOC= y 度,建立 x、y 的方程组,用代数方法解几何问题是一种常用的方法.
1 例 5.(1)如图 4,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM 平分∠AOC,ON 平分之∠BOC,求∠MON 的度数. (2) 如果(1)中∠AOB=α,其他条件不求,求∠MON 的度数. (3) 如果(1)中∠BOC=β(β为锐角),其他条件不求,求∠MON 的度数. (4)从(1)、(2)、<3)的结果中能得出什么结论? (5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系,它们之间可以互相借鉴解法,请你模仿(1)~(4)设计一道以线段为背景的计算题,写出其中的规律,并给出解答.
图 4
例 6.钟面上从 2 点到 4 点有几次时针与分针的夹角为 60°?分别是几点几分?
思路点拨:时钟问题的关键是将时针、分针、秒针转动的速度用角表示出来.时针转动的速度为 0.5° /分,分针为 6°/分,秒针为 360°/分.
※巩固训练※ 1.一个角的补角与这个角的余角的度数比为 3:l,则这个角是 度. 2.钟表时间是 2 时 15 分时,时针与分针的夹角是 . 3.由 O 点引出的 7 条射线如图,若 OA⊥OE,OC⊥OC,∠BOC>∠FOC,则图中以 O 为顶角的锐角共有 个.
4.如图,O 是直线 AB 上一点,∠AOD=120°,∠AOC=90°,OE 平分∠BOD,则图中彼此互补的 角有 对. 5.如图,∠AOB=180°,OD 是∠COB 的平分线,OE 是∠AOC 的平分线,设∠BOD=α,则与α的余角相等的角是( ). A.∠OOD B.∠ODE C.∠DOA D.∠COA
2
6.如图,在一个正方体的 2 个面上画了两条对角线 AB,AC,那么这两条对角线的夹角等于( A.60° B.75° C.90° D.135°
).
注:解钟表上的问题,常用到以下知识:
(1)钟表上相邻两个数宇之间有 5 个小格,每个小格表示 1 分钟,如与角度联系起来,每小格对应 6°. (2)秒钟每分钟转运 360°,分针每分钟转过 6°,时钟每分钟转过 0.5°. (3)画示意图把这类问题看成是行程问题中的追及问题来解决. 7.将一长方形纸片按如图的方式折叠,BC、BD 为折痕,则∠CBD 的度数为( ).
A.60° B.75° C.90° D.95°
8.如图,∠1>∠2,那么∠2 与 1 2 (∠1 一∠2)之间的关系是( ).
A.互补 B.互余 C.和为 45° D.和为 22.5°
9.如图,已知 A、O、E 三点在一条直线上,OB 平分∠AOC,∠AOB+∠DOE=90°,试问:∠COD 与∠DOE 之间有怎样的关系?说明理由.
10.(1)一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含 30°角的直角三角形组成.利用这副三角板构成
15°角的方法很多,请你画出其中三种不同构成的示意图,并在图上作出必要的标注,不写作法. (2)一个长方形和一个正方形摆放如图,试找出除直角外的互余的角和互补的角.
11.α、β、γ中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算 (?? ?? ?) 的值时,有三 15 1 位同学分别算出了 23 °、24 °、25 ° 这三个不同的结果, 其中确有一个是正确的答案, 则
?? ?? ?
.
12.如图,O 是直线 AB 上一点,∠AOE=∠FOD=90°,OB 平分∠COD,图中与∠DOE 互余的是 ,与∠DOE 互补的角是 . 13.以∠AOB 的顶点 O 为端点引射线 OC,使∠AOC:∠BOC=5:4,若∠AOB=15°,则∠AOC 的度数是 .
3 14.光线以图所示的角度α照射到平面镜 I 上,然后在乎面镜 I、Ⅱ之间来回反射,已知∠α=60°, ∠β=50°,则∠γ= .
15.若∠β与∠α互补,∠γ与∠α互余,且∠β与∠γ的和是 A.2 倍
4 3 个平角,则∠β是∠α的(
).
1 5 B.5 倍 C.11 倍 D.无法确定倍数 )分钟(答案四舍五入到整数) . 16.4 点钟后,从时针到分针第二次成 90°角,共经过(
A.60 B.30 C.40 D.33
17.如图,从点 O 引出 6 条射线 OA、OB、OC、OD、OE、OF,且∠AOB=100°,OF 平分∠BOC,∠AOE =∠DOE,∠EOF=140°,求∠COD 的度数.
18.过点 O 任作 7 条直线,求证:以 O 为顶点的角中必有一个小于 26°.
19.(1)现有一个 19°的“模板”(如图),请你设计一种办法,只用这个“模板”和铅笔在纸上画出 1°的角来.
(2)现有一个 17°的“模板”与铅笔,你能否在纸上画出一个 1°的角来? (3)用一个 21°的“模板”与铅笔,你能否在纸上画出一个 1°的角来? 对于(2)、(3)两问,如果能,请你简述画法步骤;如果不能,请你说明理由.
4 参考答案
9 5
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