2019年全国高中数学联赛A卷
一试
一、填空题
1. 已知正实数a满足aa??9a?8a，则loga?3a?的值为__________.
2. 若实数集合?1,2,3,x?的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为____. 3. 平面直角坐标系中，e是单位向量，向量a满足a?e?2，且a则a的取值范围是__________.
4. 设A，B为椭圆?的长轴顶点，E，F为椭圆?的两个焦点，AB?4，AF?2?3，P为?上一点，满足PE?PF?2，则?PEF的的面积为 .
5. 在1,2,3,??,10中随机选出一个数a，在?1,?2,?3,??,?10中随机选出一个数b，则a2?b被3整除的概率为__________.
6. 对任意闭区间I，用MI表示函数y?sinx在I上的最大值，若正数a满足M?0,a??M?a,2a?，则a的值为__________.
7. 如图，正方体ABCD?EFGH的一个截面经过点A、C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则EK的值为__________.
?????2???5a?te对任意实数t成立，
?FK8. 将6个数2，0，1，9，20，19按任意次序排成一行，拼成一个8位数 （首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为__________.
二、解答题
9. 在?ABC中，BC?a，CA?b，AB?c，若b是a与c的等比中项，且sinA是sin?B?A?与
sinC的等差中项，求cosB的值.
10. 在平面直角坐标系xOy中，圆?与抛物线?：y2?4x恰有一个公共点，且圆?与x轴相切于?的焦点F，求圆?的半径.
2211. 称一个复数数列?zn?为“有趣的”，若z1?1且对任意正整数n，均有4zn，?1?2znzn?1?zn?0求最大的常数C，使得对一切有趣的数列?zn?及任意正整数m，均有z1?z2?z3???zm?C .
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2019年全国高中数学联赛A卷
二试
一、如图，在锐角?ABC中，M是BC边的中点. 点P在?ABC内，使得AP平分?BAC.直线MP 与?ABP，?ACP的外接圆分别相交于不同于点P 的两点D,E.
求证：若DE?MP，则BC?2BP.
二、设整数a1,a2,a3,?,a2019满足1?a1?a2?a3???a2019?99，
22记f?a12?a2???a2019??a1a3?a2a4?a3a5???a2017a2019?，
?? 求f的最小值f0，并确定使f?f0成立的数组的个数?a1,a2,a3,?,a2019?.
三、设m为整数，m?2，整数数列a1,a2,??满足：a1,a2不全为零，且对任意正整数n，
均有an?2?an?1?man.
求证：若存在整数r,s?r?s?2?使得ar?as?a1，则r?s?m.
四、设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线
段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交集为空集.
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