立体几何中的折叠问题含解析

高考热点问题：立体几何中折叠问题

一、考情分析

立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等. 二、经验分享

(1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点.

(2) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量”．求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键． (3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法. 三、题型分析 (一) 平面图形的折叠

解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据. 1. 折叠后的形状判断

【例1】如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上)

① ② ③

④ ⑤ ⑥

【分析】根据平面图形的特征,想象平面图形折叠后的图形进行判断.也可利用手中的纸片画出相应的图形进行折叠. 【答案】①③⑥ 【解析】①③⑥可以.

②把横着的小方形折起后,再折竖着的小方形,则最上方的小方形与正方体的一个侧面重合,导致正方体缺少一个侧面；

④把下方的小方形折起后,则上方的小方形中的第1,2个重合,导致正方体的底面缺少,不能折成正方体；

⑤把中间的小方形当成正方体的底面,则右下方的小方形折叠不起来,构不成正方体.

【小试牛刀】下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（ ）

A. B. C. D.

【例2】将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2),则在空间四边形ABCD中,AD与BC的位置关系是

( )

图1 图2

A．相交且垂直 C．异面且垂直 【答案】C

【解析】在图1中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则AD⊥BC,折叠后如图2,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD、CD,这两条线段与AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC.

【小试牛刀】如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为边BC,AD的中点,将将

沿DE所在直线进行翻折,在翻折过程中（ ）

沿BF所在直线进行翻折,

B．相交但不垂直 D．异面但不垂直

A. 点A与点C在某一位置可能重合 B. 点A与点C的最大距离为C. 直线AB与直线CD可能垂直 D. 直线AF与直线CE可能垂直 3.折叠后几何体的数字特征

折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等,设计问题综合、全面,也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应.

【例3】（体积问题）如图所示,等腰△ABC的底边AB?66,高CD?3,点E是线段BD上异于点

B，D的动点,点F在BC边上,且EF⊥AB,现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使

PE⊥AE,记BE?x,V(x)表示四棱锥P?ACFE的体积．

P

A

C

D F

E

B

（1）求V(x)的表达式；

（2）当x为何值时,V(x)取得最大值？

【解析】（1）由折起的过程可知,PE⊥平面ABC,S?ABC?96,V(x)=

（0?x?36）

,所以x?(0,6)时,v'(x)?0 ,V(x)单调递增；6?x?36时v'(x)?0 ,V(x)单

（2）

调递减；因此x=6时,V(x)取得最大值126. 【小试牛刀】【河北省五个一名校联盟2019届高三下学期一诊】在平面四边形AB=BC=2,AC=AD=2

D-ABC外接球的表面积为（ ）

中，

，现沿对角线AC折起,使得平面DAC平面ABC，则此时得到的三棱锥

A． B． C． D．

【例4】（空间角问题）如左图,矩形ABCD中,AB?12,AD?6,E、F分别为CD、AB边上的点,且DE?3,BF?4,将?BCE沿BE折起至?PBE位置(如右图所示),连结AP、EF、PF,其中

PF?25. (Ⅰ)求证:PF?平面ABED； (Ⅱ)求直线AP与平面PEF所成角的正弦值. D

E . . F

C

D A 图

P C

F

B

E

A 图

B

【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,在?PBF中,在图1中,易得在?PEF中,又

z D A x , ,

,所以PF?BF ,

,所以PF?EF

,BF?平面ABED,EF?平面ABED,所以PF?平面ABED.

P D A

P C

H F

解法二图

E F 解法一图 C y B E B

(Ⅱ)方法一:以D为原点,建立空间直角坐标系D?xyz如图所示,则A?6,0,0?,

,

,

E?0,3,0?,F?6,8,0?,所以

, ,

??n?FP?0n?x,y,z设平面PEF的法向量为,即??,则???n?EF?0令y??6,得

,

5?x??y?,解得?6

??z?0设直线AP与平面PEF所成角为?,则

81281. 427