高考数学(理科)一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

cosB＝35，求cosc.

1．设函数f＝a•b，其中向量a＝，b＝，x∈R. 若函数f＝1－3，且x∈－π3，π3，求x；

求函数y＝f的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f在区间[0，π]上的图象． 答案 自主梳理

．cosαcosβ－sinαsinβ cosαcosβ＋sinαsinβ sinαcosβ＋cosαsinβ sinαcosβ－cosαsinβ tanα＋tanβ1－tanαtanβ tanα－tanβ1＋tanαtanβ 2.aa2＋b2 ba2＋b2 自我检测

．A 2.c 3.B 4.c 5.c 课堂活动区

例1 解题导引 在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用．

解 原式

＝2sin50°＋sin10°•1＋3sin10°cos10°•2sin80°

＝2sin50°＋sin10°•cos10°＋3sin10°cos10°•2sin80°

＝2sin50°＋2sin10°•12cos10°＋32sin10°cos10°•2cos10°

＝2sin50°＋2sin10°sin40°cos10°•2cos10° ＝2sin60°cos10°•2cos10°＝22sin60° ＝22×32＝6.

原式＝sin[＋30°]＋cos－3•cos[－30°] ＝32sin＋12cos＋cos－32cos－32sin＝0.

变式迁移1 解 原式＝2cos30°－20°－sin20°sin70°

＝3cos20°＋sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°sin70°＝3.

原式＝tan[＋][1－tan•tan]＋3tantan＝3. 例2 解题导引 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧．

解 cosπ4－α＝sinπ4＋α＝35， ∵0<β<π4<α<3π4，

∴π2<π4＋α<π，3π4<3π4＋β<π. ∴cosπ4＋α＝－1－sin2π4＋α＝－45， cos3π4＋β＝－1－sin23π4＋β＝－1213. ∴sin[π＋]＝sinπ4＋α＋3π4＋β

＝sinπ4＋αcos3π4＋β＋cosπ4＋αsin3π4＋β ＝35×－1213－45×513＝－5665. ∴sin＝5665.

变式迁移2 解 由tanπ4＋α＝2，得1＋tanα1－tanα＝2，

即1＋tanα＝2－2tanα，∴tanα＝13.

sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β

＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ

＝－sinαcosβ－cosαsinβcosαcosβ

＋sinα

sinβ

＝－sinα

－β

cosα－β ＝－tan＝－tanα－tanβ1＋tanαtanβ ＝－13－121＋13×12＝17.

例3 解题导引 通过求角的某种三角函数值来求角，

在选取函数时，遵循以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；

②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好． 解这类问题的一般步骤： ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围；

③根据角的范围写出所求的角． 解 ∵tanα2＝12，

∴sinα＝sin2•α2＝2sinα2cosα2

＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2×121＋122＝45.

∵0<α<π2，sinα＝45，∴cosα＝35. 又0<α<π2<β<π，∴0<β－α<π.

由cos＝210，得sin＝7210. ∴sinβ＝sin[＋α] ＝sincosα＋cossinα

＝7210×35＋210×45＝25250＝22. 由π2<β<π得β＝34π.

变式迁移3 解 ∵A、B均为钝角且sinA＝55，sinB