习题课 空间向量的应用
一、基础过关 1．
如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝
11
90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．
22(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？ (3)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE. 2．
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角． (1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD； (2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值． 3．
π
如图所示，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面
4
ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．
(1)证明：直线MN∥平面OCD； (2)求异面直线AB与MD所成角的大小． 二、能力提升 4．如图所示，
- 1 -
在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.
(1)证明：PC⊥AD；
(2)求二面角A－PC－D的正弦值；
(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长． 5．
等边△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE(如图所示)．
(1)求证：平面ABC⊥平面ABE；
(2)求直线AC与平面ABE所成角的正弦值． 三、探究与拓展 6．
如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱
SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
- 2 -
答案
1． (1)证明 由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直．
以A为坐标原点，射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB＝a，BC＝b，BE＝c，
则由题设得A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，
b，c)．
→→→→
所以GH＝(0，b,0)，BC＝(0，b,0)，于是GH＝BC.又点G不在直线BC上， 所以四边形BCHG是平行四边形．
(2)解 C、D、F、E四点共面．理由如下：
由题设知，F(0,0,2c)，
→→→→
所以EF＝(－a,0，c)，CH＝(－a,0，c)，EF＝CH.又C?EF，H∈FD， 故C、D、F、E四点共面．
(3)证明 由AB＝BE，得c＝a，
→→
所以CH＝(－a,0，a)，AE＝(a,0，a)． →→→
又AD＝(0,2b,0)，因此CH·AE＝0， →→
CH·AD＝0，即CH⊥AE，CH⊥AD. 又AD∩AE＝A，所以CH⊥平面ADE. 由CH?平面CDE， 得平面ADE⊥平面CDE. 2． (1)证明 ∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD， ∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD. 又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE. 故BE⊥PD. (2)
解 如图所示，以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为(a，a,0)、(0,2a,0)．
∵PA⊥底面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA＝30°. 于是，在Rt△AED中，由AD＝2a，
- 3 -
得AE＝a.
过E作EF⊥AD，垂足为F，
在Rt△AFE中，由AE＝a，∠EAF＝60°，
得AF＝12a，EF＝3
2a.
∴E??1
3??0，2
a，2a??.
于是→AE＝???0，1
3?→2a，2a??，CD＝(－a，a,0)．
设异面直线AE与CD所成角为θ，
12则cos θ＝|→AE·→CD|2a2
|→＝＝. AE||→CD|a·2a4∴AE与CD所成角的余弦值为24
. 3． (1)证明
作AP⊥CD于点P，连结OP.
如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．A(0,0,0)，B(1,0,0)，P?
??0，2?2，0??，
D??
22??
－
2，2，0??，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N?
??1－24，24，0???
. →MN＝?
??1－24，24，－1???
，
→
OP＝??0，
2?2，－2???， →OD＝?
?22??－2，2，－2??.
设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·→OP＝0，n·→
OD＝0. ??22y－2z＝0，即?
??－222x＋2y－2z＝0.
取z＝2，解得n＝(0,4，2)．
∵→
MN·n＝??22??1－4，4，－1??
·(0,4，2)＝0，
- 4 -
又MN?平面OCD，∴MN∥平面OCD. (2)解 设AB与MD所成角为θ. ∵→
AB＝(1,0,0)，
→MD＝?
??－22，22，－1???，
→→∴cos θ＝|AB·MD|＝1，∴θ＝π
.
|→AB|·|→MD|
23∴AB与MD所成角的大小为π
3.
4． (1)证明
如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，
B??－1，1?22，0???，P(0,0,2)．
易得→PC＝(0,1，－2)，→
AD＝(2,0,0)，
于是→PC·→
AD＝0，所以PC⊥AD.
(2)解 →
PC＝(0,1，－2)， →
CD＝(2，－1,0)．
设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)， ?则??
n·→PC＝0，即?
?－2z＝0，??n·→CD＝0，
?y??2x－y＝0.
不妨令z＝1，可得n＝(1,2,1)． 可取平面PAC的法向量m＝(1,0,0)． 于是cos〈m，n〉＝m·n16
|m|·|n|＝6＝6，
从而sin〈m，n〉＝30
6
. 所以二面角A－PC－D的正弦值为
306
. (3)解 设点E的坐标为(0,0，h)， 其中h∈[0,2]．
由此得→BE＝??1
1?2
，－2，h???.
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