2.2.3 独立重复试验与二项分布
学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.
知识点一 独立重复试验
思考1 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验. 答案 条件相同.
思考2 试验结果有哪些？
答案 正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生. 思考3 各次试验的结果有无影响？ 答案 无，即各次试验相互独立.
(1)定义：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. (2)基本特征：
①每次试验是在同样条件下进行.
②每次试验都只有两种结果：发生与不发生. ③各次试验之间相互独立.
④每次试验，某事件发生的概率都是一样的. 知识点二 二项分布
在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用Bk表示仅投中k次这件事. 思考1 用Ai如何表示B1，并求P(B1)，
答案 B1＝(A1A2 A3)∪(A1A2A3)∪(A1 A2A3)， 因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，
且A1A2 A3、A1A2A3、A1 A2A3两两互斥，
故P(B1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096. 思考2 试求P(B2)和P(B3)
答案 P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384， P(B3)＝0.83＝0.512.
思考3 由以上问题的结果你能得出什么结论？
k3k答案 P(Bk)＝Ck(k＝0.1,2,3) 30.80.2
－
1
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数， 设每次试验中事件A发生的概率为p，
knk
则P(X＝k)＝Ck，k＝0,1,2，…，n. np(1－p)－
此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
类型一 独立重复试验的概率问题
例1 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率. 解 (1)记预报一次准确为事件A， 则P(A)＝0.8，
5次预报恰有2次准确的概率为
23P＝C250.8×0.2＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.
514其概率为P＝C05×(0.2)＋C5×0.8×(0.2)＝0.006 72≈0.01，
所以所求概率为1－p＝1－0.01＝0.99， 所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99. (3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确， 所以概率为P＝C10.8×(0.2)3×0.8 4·＝0.020 48≈0.02，
所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02. 反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验. (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆.
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.
1跟踪训练1 9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为.
2若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子. (1)求甲坑不需要补种的概率；
(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P1，另记有坑需要补种的概率为P2，求P1
2
＋P2的值.
解 (1)∵甲坑内3粒种子都不发芽的概率为
?1－1?3＝1. ?2?8
17
∴甲坑不需要补种的概率为1－＝. 88(2)3个坑恰有1个坑不需要补种的概率为 71?2211
P1＝C3××?＝. 8?8?512
7?3
由于3个坑都不需补种的概率为??8?， 7?3169则有坑需要补种的概率为P2＝1－??8?＝512， 2116995所以P1＋P2＝＋＝. 512512256类型二 二项分布
例2 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘1
客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电
3梯的人数，求随机变量X的分布列.
解 可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故X～15，?， B??3??1?0?2?5＝32. P(X＝0)＝C053???3?243?1?1?2?4＝80. P(X＝1)＝C153???3?243
1?2?2?380?P(X＝2)＝C253???3?＝243. 1?3?2?240?P(X＝3)＝C353???3?＝243. 1?4?2?110?P(X＝4)＝C453???3?＝243. ?1?51. P(X＝5)＝C553＝??243
所以分布列为
X P
3
0 32 2431 80 2432 80 2433 40 2434 10 2435 1 243
反思与感悟 1.本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
2.解决二项分布问题的两个关注点
knk
(1)对于公式P(X＝k)＝Ck(k＝0,1,2…n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，np(1－p)
－
否则不能应用该公式.
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.
跟踪训练2 袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的分布列.
1解 取到黑球数X的可能取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为，
5
?1?0?4?364， 那么P(X＝0)＝C035·5＝????125
1??4?248?P(X＝1)＝C135·5＝????125， 1?2?4?12?P(X＝2)＝C235·5＝????125， 1?3?4?01?P(X＝3)＝C335·5＝????125. 故X的分布列为：
X P
类型三 二项分布的综合应用
例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇1
到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. 3(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 1
5，?，ξ分布列为 解 (1)ξ～B??3?1?k?2?5－k?P(ξ＝k)＝Ck53???3?，k＝0,1,2,3,4,5.
2?k1
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝?，k＝0,1,2,3,4； ?3?·32?5P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝??3?
4
0 64 1251 48 1252 12 1253 1 125
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